Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnuprdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnuprdlem2 40493
 Description: Lemma for mnuprd 40496. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mnuprdlem2.1 𝐹 = {{∅, {𝐴}}, {{∅}, {𝐵}}}
mnuprdlem2.4 (𝜑𝐵𝑈)
mnuprdlem2.5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
mnuprdlem2.8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ {∅, {∅}}∃𝑢𝐹 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))
Assertion
Ref Expression
mnuprdlem2 (𝜑𝐵𝑤)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑖,𝑢   𝑢,𝐹,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑢,𝑖)   𝐴(𝑤,𝑢,𝑖)   𝐵(𝑤,𝑢,𝑖)   𝑈(𝑤,𝑢,𝑖)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem mnuprdlem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2905 . . . . 5 (𝑖 = {∅} → (𝑖𝑢 ↔ {∅} ∈ 𝑢))
21anbi1d 629 . . . 4 (𝑖 = {∅} → ((𝑖𝑢 𝑢𝑤) ↔ ({∅} ∈ 𝑢 𝑢𝑤)))
32rexbidv 3302 . . 3 (𝑖 = {∅} → (∃𝑢𝐹 (𝑖𝑢 𝑢𝑤) ↔ ∃𝑢𝐹 ({∅} ∈ 𝑢 𝑢𝑤)))
4 mnuprdlem2.8 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ {∅, {∅}}∃𝑢𝐹 (𝑖𝑢 𝑢𝑤))
5 p0ex 5281 . . . . 5 {∅} ∈ V
65prid2 4698 . . . 4 {∅} ∈ {∅, {∅}}
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ∈ {∅, {∅}})
83, 4, 7rspcdva 3629 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝐹 ({∅} ∈ 𝑢 𝑢𝑤))
9 simpl 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝜑)
10 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝑎𝐹)
11 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ {∅} ∈ 𝑎) → {∅} ∈ 𝑎)
12 0nep0 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ≠ {∅}
1312necomi 3075 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} ≠ ∅
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {∅} ≠ ∅)
15 mnuprdlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝐴 = ∅)
16 0ex 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∅ ∈ V
1716sneqr 4770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({∅} = {𝐴} → ∅ = 𝐴)
1817eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({∅} = {𝐴} → 𝐴 = ∅)
1915, 18nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ {∅} = {𝐴})
2019neqned 3028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {∅} ≠ {𝐴})
2114, 20nelprd 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ {∅} ∈ {∅, {𝐴}})
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ {∅} ∈ 𝑎) → ¬ {∅} ∈ {∅, {𝐴}})
2311, 22elnelneqd 40440 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ {∅} ∈ 𝑎) → ¬ 𝑎 = {∅, {𝐴}})
2423adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤)) → ¬ 𝑎 = {∅, {𝐴}})
2524adantrl 712 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → ¬ 𝑎 = {∅, {𝐴}})
26 elpri 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {{∅, {𝐴}}, {{∅}, {𝐵}}} → (𝑎 = {∅, {𝐴}} ∨ 𝑎 = {{∅}, {𝐵}}))
27 mnuprdlem2.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = {{∅, {𝐴}}, {{∅}, {𝐵}}}
2826, 27eleq2s 2936 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐹 → (𝑎 = {∅, {𝐴}} ∨ 𝑎 = {{∅}, {𝐵}}))
2928ord 860 . . . . . . . 8 (𝑎𝐹 → (¬ 𝑎 = {∅, {𝐴}} → 𝑎 = {{∅}, {𝐵}}))
3010, 25, 29sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝑎 = {{∅}, {𝐵}})
3130unieqd 4847 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝑎 = {{∅}, {𝐵}})
32 snex 5328 . . . . . . . 8 {𝐵} ∈ V
335, 32unipr 4850 . . . . . . 7 {{∅}, {𝐵}} = ({∅} ∪ {𝐵})
34 df-pr 4567 . . . . . . 7 {∅, 𝐵} = ({∅} ∪ {𝐵})
3533, 34eqtr4i 2852 . . . . . 6 {{∅}, {𝐵}} = {∅, 𝐵}
3631, 35syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝑎 = {∅, 𝐵})
37 simprrr 778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝑎𝑤)
3836, 37eqsstrrd 4010 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → {∅, 𝐵} ⊆ 𝑤)
39 mnuprdlem2.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑈)
40 prssg 4751 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑈) → ((∅ ∈ 𝑤𝐵𝑤) ↔ {∅, 𝐵} ⊆ 𝑤))
4116, 39, 40sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((∅ ∈ 𝑤𝐵𝑤) ↔ {∅, 𝐵} ⊆ 𝑤))
4241biimprd 249 . . . 4 (𝜑 → ({∅, 𝐵} ⊆ 𝑤 → (∅ ∈ 𝑤𝐵𝑤)))
439, 38, 42sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → (∅ ∈ 𝑤𝐵𝑤))
4443simprd 496 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐹 ∧ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤))) → 𝐵𝑤)
45 eleq2w 2901 . . 3 (𝑢 = 𝑎 → ({∅} ∈ 𝑢 ↔ {∅} ∈ 𝑎))
46 unieq 4845 . . . 4 (𝑢 = 𝑎 𝑢 = 𝑎)
4746sseq1d 4002 . . 3 (𝑢 = 𝑎 → ( 𝑢𝑤 𝑎𝑤))
4845, 47anbi12d 630 . 2 (𝑢 = 𝑎 → (({∅} ∈ 𝑢 𝑢𝑤) ↔ ({∅} ∈ 𝑎 𝑎𝑤)))
498, 44, 48rexlimddvcbv 40444 1 (𝜑𝐵𝑤)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  Vcvv 3500   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  {csn 4564  {cpr 4566  ∪ cuni 4837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-uni 4838 This theorem is referenced by:  mnuprdlem4  40495
 Copyright terms: Public domain W3C validator