Theorem ndmovord 7599

Description: Elimination of redundant antecedents in an ordering law. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovord.4	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
ndmovord.5	⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
ndmovord.6	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
ndmovord	⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))

Proof of Theorem ndmovord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmovord.6	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
2	1	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵))))
3		ndmovord.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
4	3	brel 5712	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
5	3	brel 5712	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) → ((𝐶𝐹𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝐹𝐵) ∈ 𝑆))
6		ndmov.1	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
7		ndmovord.5	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
8	6, 7	ndmovrcl 7595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶𝐹𝐴) ∈ 𝑆 → (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
9	8	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶𝐹𝐴) ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
10	6, 7	ndmovrcl 7595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
11	10	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → 𝐵 ∈ 𝑆)
12	9, 11	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐶𝐹𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐶𝐹𝐵) ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
13	5, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
14	4, 13	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))
15	14	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵))))
16	2, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐶𝐹𝐴)𝑅(𝐶𝐹𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102   × cxp 5645  dom cdm 5647  (class class class)co 7408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fv 6535  df-ov 7411

This theorem is used by:  ltapi  10959  ltmpi  10960  ltanq  11027  ltmnq  11028  ltapr  11101  ltasr  11156