Theorem ndmovrcl 7544

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ndmovrcl	⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmovrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
2		ndmov.1	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
3	2	ndmov 7542	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	3	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
5	1, 4	mtbiri 327	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
6	5	con4i 114	1 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   × cxp 5620  dom cdm 5622  (class class class)co 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  ndmovass  7546  ndmovdistr  7547  ndmovord  7548  ndmovordi  7549  caovmo  7595  brecop2  8749  eceqoveq  8760  addcanpi  10811  mulcanpi  10812  ordpipq  10854  recmulnq  10876  recclnq  10878  ltexnq  10887  nsmallnq  10889  ltbtwnnq  10890  prlem934  10945  ltaddpr  10946  ltaddpr2  10947  ltexprlem2  10949  ltexprlem3  10950  ltexprlem4  10951  ltexprlem6  10953  ltexprlem7  10954  addcanpr  10958  prlem936  10959  mappsrpr  11020