Theorem ndmovrcl 7636

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ndmovrcl	⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmovrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
2		ndmov.1	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
3	2	ndmov 7634	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	3	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
5	1, 4	mtbiri 327	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
6	5	con4i 114	1 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352   × cxp 5698  dom cdm 5700  (class class class)co 7448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  ndmovass  7638  ndmovdistr  7639  ndmovord  7640  ndmovordi  7641  caovmo  7687  brecop2  8869  eceqoveq  8880  addcanpi  10968  mulcanpi  10969  ordpipq  11011  recmulnq  11033  recclnq  11035  ltexnq  11044  nsmallnq  11046  ltbtwnnq  11047  prlem934  11102  ltaddpr  11103  ltaddpr2  11104  ltexprlem2  11106  ltexprlem3  11107  ltexprlem4  11108  ltexprlem6  11110  ltexprlem7  11111  addcanpr  11115  prlem936  11116  mappsrpr  11177