MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmovrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndmovrcl 7593
Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
ndmov.1 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3 ¬ ∅ ∈ 𝑆
Assertion
Ref Expression
ndmovrcl ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑆𝐵𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl
StepHypRef Expression
1 ndmovrcl.3 . . 3 ¬ ∅ ∈ 𝑆
2 ndmov.1 . . . . 5 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
32ndmov 7591 . . . 4 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
43eleq1d 2819 . . 3 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
51, 4mtbiri 327 . 2 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
65con4i 114 1 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4323   × cxp 5675  dom cdm 5677  (class class class)co 7409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  ndmovass  7595  ndmovdistr  7596  ndmovord  7597  ndmovordi  7598  caovmo  7644  brecop2  8805  eceqoveq  8816  addcanpi  10894  mulcanpi  10895  ordpipq  10937  recmulnq  10959  recclnq  10961  ltexnq  10970  nsmallnq  10972  ltbtwnnq  10973  prlem934  11028  ltaddpr  11029  ltaddpr2  11030  ltexprlem2  11032  ltexprlem3  11033  ltexprlem4  11034  ltexprlem6  11036  ltexprlem7  11037  addcanpr  11041  prlem936  11042  mappsrpr  11103
  Copyright terms: Public domain W3C validator