Theorem ndmovrcl 7592

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ndmovrcl	⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmovrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
2		ndmov.1	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
3	2	ndmov 7590	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	3	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
5	1, 4	mtbiri 326	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
6	5	con4i 114	1 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4322   × cxp 5674  dom cdm 5676  (class class class)co 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7411

This theorem is referenced by:  ndmovass  7594  ndmovdistr  7595  ndmovord  7596  ndmovordi  7597  caovmo  7643  brecop2  8804  eceqoveq  8815  addcanpi  10893  mulcanpi  10894  ordpipq  10936  recmulnq  10958  recclnq  10960  ltexnq  10969  nsmallnq  10971  ltbtwnnq  10972  prlem934  11027  ltaddpr  11028  ltaddpr2  11029  ltexprlem2  11031  ltexprlem3  11032  ltexprlem4  11033  ltexprlem6  11035  ltexprlem7  11036  addcanpr  11040  prlem936  11041  mappsrpr  11102