Theorem ndmovrcl 7458

Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3	⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
ndmovrcl	⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmovrcl.3	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ 𝑆
2		ndmov.1	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
3	2	ndmov 7456	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	3	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
5	1, 4	mtbiri 327	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
6	5	con4i 114	1 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256   × cxp 5587  dom cdm 5589  (class class class)co 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  ndmovass  7460  ndmovdistr  7461  ndmovord  7462  ndmovordi  7463  caovmo  7509  brecop2  8600  eceqoveq  8611  addcanpi  10655  mulcanpi  10656  ordpipq  10698  recmulnq  10720  recclnq  10722  ltexnq  10731  nsmallnq  10733  ltbtwnnq  10734  prlem934  10789  ltaddpr  10790  ltaddpr2  10791  ltexprlem2  10793  ltexprlem3  10794  ltexprlem4  10795  ltexprlem6  10797  ltexprlem7  10798  addcanpr  10802  prlem936  10803  mappsrpr  10864