MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndmovrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndmovrcl 7545
Description: Reverse closure law, when an operation's domain doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
ndmov.1 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
ndmovrcl.3 ¬ ∅ ∈ 𝑆
Assertion
Ref Expression
ndmovrcl ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑆𝐵𝑆))

Proof of Theorem ndmovrcl
StepHypRef Expression
1 ndmovrcl.3 . . 3 ¬ ∅ ∈ 𝑆
2 ndmov.1 . . . . 5 dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
32ndmov 7543 . . . 4 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
43eleq1d 2823 . . 3 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 ↔ ∅ ∈ 𝑆))
51, 4mtbiri 327 . 2 (¬ (𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆)
65con4i 114 1 ((𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4287   × cxp 5636  dom cdm 5638  (class class class)co 7362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  ndmovass  7547  ndmovdistr  7548  ndmovord  7549  ndmovordi  7550  caovmo  7596  brecop2  8757  eceqoveq  8768  addcanpi  10842  mulcanpi  10843  ordpipq  10885  recmulnq  10907  recclnq  10909  ltexnq  10918  nsmallnq  10920  ltbtwnnq  10921  prlem934  10976  ltaddpr  10977  ltaddpr2  10978  ltexprlem2  10980  ltexprlem3  10981  ltexprlem4  10982  ltexprlem6  10984  ltexprlem7  10985  addcanpr  10989  prlem936  10990  mappsrpr  11051
  Copyright terms: Public domain W3C validator