MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmnq 10996
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmnq (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))

Proof of Theorem ltmnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqf 10973 . . 3 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
21fdmi 6734 . 2 dom ยทQ = (Q ร— Q)
3 ltrelnq 10950 . 2 <Q โІ (Q ร— Q)
4 0nnq 10948 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
5 elpqn 10949 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
653ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
7 xp1st 8025 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
9 xp2nd 8026 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10917 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 ltmpi 10928 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
15 fvex 6910 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
16 fvex 6910 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
17 fvex 6910 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
18 mulcompi 10920 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
19 mulasspi 10921 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
20 fvex 6910 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
2115, 16, 17, 18, 19, 20caov4 7652 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
22 fvex 6910 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
23 fvex 6910 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
2415, 16, 22, 18, 19, 23caov4 7652 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
2521, 24breq12i 5157 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2614, 25bitrdi 287 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
27 ordpipq 10966 . . . . 5 (โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
29 elpqn 10949 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
30293ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
31 mulpipq2 10963 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
326, 30, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
33 elpqn 10949 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
34333ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
35 mulpipq2 10963 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
366, 34, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
3732, 36breq12d 5161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
3828, 37bitr4d 282 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
39 ordpinq 10967 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
40393adant3 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
41 mulpqnq 10965 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
4241ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
43423adant2 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
44 mulpqnq 10965 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4544ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
46453adant1 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4743, 46breq12d 5161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต))))
48 lterpq 10994 . . . 4 ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4947, 48bitr4di 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
5038, 40, 493bitr4d 311 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
512, 3, 4, 50ndmovord 7611 1 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โŸจcop 4635   class class class wbr 5148   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  1st c1st 7991  2nd c2nd 7992  Ncnpi 10868   ยทN cmi 10870   <N clti 10871   ยทpQ cmpq 10873   <pQ cltpq 10874  Qcnq 10876  [Q]cerq 10878   ยทQ cmq 10880   <Q cltq 10882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ni 10896  df-mi 10898  df-lti 10899  df-mpq 10933  df-ltpq 10934  df-enq 10935  df-nq 10936  df-erq 10937  df-mq 10939  df-1nq 10940  df-ltnq 10942
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10998  ltrnq  11003  addclprlem1  11040  mulclprlem  11043  mulclpr  11044  distrlem4pr  11050  1idpr  11053  prlem934  11057  prlem936  11071  reclem3pr  11073  reclem4pr  11074
  Copyright terms: Public domain W3C validator