MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmnq 10915
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmnq (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))

Proof of Theorem ltmnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqf 10892 . . 3 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
21fdmi 6685 . 2 dom ยทQ = (Q ร— Q)
3 ltrelnq 10869 . 2 <Q โŠ† (Q ร— Q)
4 0nnq 10867 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
5 elpqn 10868 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
653ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
7 xp1st 7958 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
9 xp2nd 7959 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10836 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 ltmpi 10847 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
15 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
16 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
17 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
18 mulcompi 10839 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
19 mulasspi 10840 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
20 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
2115, 16, 17, 18, 19, 20caov4 7590 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
22 fvex 6860 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
23 fvex 6860 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
2415, 16, 22, 18, 19, 23caov4 7590 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
2521, 24breq12i 5119 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2614, 25bitrdi 287 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
27 ordpipq 10885 . . . . 5 (โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
29 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
30293ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
31 mulpipq2 10882 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
326, 30, 31syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
33 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
34333ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
35 mulpipq2 10882 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
366, 34, 35syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
3732, 36breq12d 5123 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
3828, 37bitr4d 282 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
39 ordpinq 10886 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
40393adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
41 mulpqnq 10884 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
4241ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
43423adant2 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
44 mulpqnq 10884 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4544ancoms 460 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
46453adant1 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4743, 46breq12d 5123 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต))))
48 lterpq 10913 . . . 4 ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4947, 48bitr4di 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
5038, 40, 493bitr4d 311 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
512, 3, 4, 50ndmovord 7549 1 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   <N clti 10790   ยทpQ cmpq 10792   <pQ cltpq 10793  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   ยทQ cmq 10799   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-mi 10817  df-lti 10818  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10917  ltrnq  10922  addclprlem1  10959  mulclprlem  10962  mulclpr  10963  distrlem4pr  10969  1idpr  10972  prlem934  10976  prlem936  10990  reclem3pr  10992  reclem4pr  10993
  Copyright terms: Public domain W3C validator