MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmnq 10964
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmnq (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))

Proof of Theorem ltmnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqf 10941 . . 3 ยทQ :(Q ร— Q)โŸถQ
21fdmi 6720 . 2 dom ยทQ = (Q ร— Q)
3 ltrelnq 10918 . 2 <Q โІ (Q ร— Q)
4 0nnq 10916 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
5 elpqn 10917 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
653ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
7 xp1st 8001 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
9 xp2nd 8002 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
11 mulclpi 10885 . . . . . . . 8 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
128, 10, 11syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
13 ltmpi 10896 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
15 fvex 6895 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
16 fvex 6895 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
17 fvex 6895 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
18 mulcompi 10888 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
19 mulasspi 10889 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
20 fvex 6895 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
2115, 16, 17, 18, 19, 20caov4 7632 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
22 fvex 6895 . . . . . . . 8 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
23 fvex 6895 . . . . . . . 8 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
2415, 16, 22, 18, 19, 23caov4 7632 . . . . . . 7 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
2521, 24breq12i 5148 . . . . . 6 ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2614, 25bitrdi 287 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
27 ordpipq 10934 . . . . 5 (โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โ†” (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
29 elpqn 10917 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
30293ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
31 mulpipq2 10931 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
326, 30, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ด) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
33 elpqn 10917 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
34333ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
35 mulpipq2 10931 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
366, 34, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
3732, 36breq12d 5152 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ด)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
3828, 37bitr4d 282 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
39 ordpinq 10935 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
40393adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
41 mulpqnq 10933 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
4241ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
43423adant2 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)))
44 mulpqnq 10933 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4544ancoms 458 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
46453adant1 1127 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4743, 46breq12d 5152 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต))))
48 lterpq 10962 . . . 4 ((๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ ยทpQ ๐ต)))
4947, 48bitr4di 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต) โ†” (๐ถ ยทpQ ๐ด) <pQ (๐ถ ยทpQ ๐ต)))
5038, 40, 493bitr4d 311 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
512, 3, 4, 50ndmovord 7591 1 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4627   class class class wbr 5139   ร— cxp 5665  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  Ncnpi 10836   ยทN cmi 10838   <N clti 10839   ยทpQ cmpq 10841   <pQ cltpq 10842  Qcnq 10844  [Q]cerq 10846   ยทQ cmq 10848   <Q cltq 10850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-ni 10864  df-mi 10866  df-lti 10867  df-mpq 10901  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-erq 10905  df-mq 10907  df-1nq 10908  df-ltnq 10910
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10966  ltrnq  10971  addclprlem1  11008  mulclprlem  11011  mulclpr  11012  distrlem4pr  11018  1idpr  11021  prlem934  11025  prlem936  11039  reclem3pr  11041  reclem4pr  11042
  Copyright terms: Public domain W3C validator