Theorem ltapr 11134

Description: Ordering property of addition. Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltapr	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltapr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmplp 11101	. 2 ⊢ dom +P = (P × P)
2		ltrelpr 11087	. 2 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3		0npr 11081	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4		ltaprlem 11133	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
6		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
7		ltaprlem 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
9		ltsopr 11121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <P Or P
10		sotric 5588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((<P Or P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
11	9, 10	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
13		addclpr 11107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
14		addclpr 11107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
15	13, 14	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P))
16		sotric 5588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((<P Or P ∧ ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
17	9, 15, 16	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
18	8, 12, 17	3imtr3d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵) → ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	con4d 116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
20	6, 19	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
21		df-or 862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴<P 𝐵))
22	20, 21	imbitrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴<P 𝐵)))
23	22	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (¬ 𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵)))
24	9, 2	soirri 6119	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)
25		oveq2 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴))
26	25	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)))
27	24, 26	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))
28	27	pm2.21d 122	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
29	23, 28	pm2.61d2 183	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
30	5, 29	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
31	30	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
32	31	3com13 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
33	1, 2, 3, 32	ndmovord 7612	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   Or wor 5557  (class class class)co 7421  Pcnp 10948   +_P cpp 10950  <_P cltp 10952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-ni 10961  df-pli 10962  df-mi 10963  df-lti 10964  df-plpq 10997  df-mpq 10998  df-ltpq 10999  df-enq 11000  df-nq 11001  df-erq 11002  df-plq 11003  df-mq 11004  df-1nq 11005  df-rq 11006  df-ltnq 11007  df-np 11070  df-plp 11072  df-ltp 11074

This theorem is used by:  addcanpr  11135  ltsrpr  11166  gt0srpr  11167  ltsosr  11183  ltasr  11189  ltpsrpr  11198  map2psrpr  11199