Theorem ltapr 10202

Description: Ordering property of addition. Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltapr	⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltapr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmplp 10169	. 2 ⊢ dom +P = (P × P)
2		ltrelpr 10155	. 2 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3		0npr 10149	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4		ltaprlem 10201	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
5	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
6		olc 857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
7		ltaprlem 10201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
8	7	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
9		ltsopr 10189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <P Or P
10		sotric 5301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((<P Or P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
11	9, 10	mpan 680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
12	11	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
13		addclpr 10175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
14		addclpr 10175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
15	13, 14	anim12dan 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P))
16		sotric 5301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((<P Or P ∧ ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
17	9, 15, 16	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
18	8, 12, 17	3imtr3d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵) → ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
19	18	con4d 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
20	6, 19	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵)))
21		df-or 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴<P 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴<P 𝐵))
22	20, 21	syl6ib 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (¬ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴<P 𝐵)))
23	22	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (¬ 𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵)))
24	9, 2	soirri 5777	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)
25		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴))
26	25	breq2d 4898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)))
27	24, 26	mtbiri 319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))
28	27	pm2.21d 119	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
29	23, 28	pm2.61d2 174	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
30	5, 29	impbid 204	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P)) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
31	30	3impb 1104	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
32	31	3com13 1115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
33	1, 2, 3, 32	ndmovord 7101	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886   Or wor 5273  (class class class)co 6922  Pcnp 10016   +_P cpp 10018  <_P cltp 10020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ni 10029  df-pli 10030  df-mi 10031  df-lti 10032  df-plpq 10065  df-mpq 10066  df-ltpq 10067  df-enq 10068  df-nq 10069  df-erq 10070  df-plq 10071  df-mq 10072  df-1nq 10073  df-rq 10074  df-ltnq 10075  df-np 10138  df-plp 10140  df-ltp 10142

This theorem is referenced by:  addcanpr  10203  ltsrpr  10234  gt0srpr  10235  ltsosr  10251  ltasr  10257  ltpsrpr  10266  map2psrpr  10267