MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltapr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltapr 11040
Description: Ordering property of addition. Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltapr (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))

Proof of Theorem ltapr
StepHypRef Expression
1 dmplp 11007 . 2 dom +P = (P × P)
2 ltrelpr 10993 . 2 <P ⊆ (P × P)
3 0npr 10987 . 2 ¬ ∅ ∈ P
4 ltaprlem 11039 . . . . . 6 (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
54adantr 482 . . . . 5 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (𝐴<P 𝐵 → (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
6 olc 867 . . . . . . . . 9 ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
7 ltaprlem 11039 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶P → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
87adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (𝐵<P 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴)))
9 ltsopr 11027 . . . . . . . . . . . . 13 <P Or P
10 sotric 5617 . . . . . . . . . . . . 13 ((<P Or P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
119, 10mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵P𝐴P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (𝐵<P 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
13 addclpr 11013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶P𝐵P) → (𝐶 +P 𝐵) ∈ P)
14 addclpr 11013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶P𝐴P) → (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)
1513, 14anim12dan 620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P))
16 sotric 5617 . . . . . . . . . . . 12 ((<P Or P ∧ ((𝐶 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐶 +P 𝐴) ∈ P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
179, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → ((𝐶 +P 𝐵)<P (𝐶 +P 𝐴) ↔ ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
188, 12, 173imtr3d 293 . . . . . . . . . 10 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (¬ (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵) → ¬ ((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))))
1918con4d 115 . . . . . . . . 9 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (((𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴) ∨ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)) → (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
206, 19syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
21 df-or 847 . . . . . . . 8 ((𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵))
2220, 21imbitrdi 250 . . . . . . 7 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴<P 𝐵)))
2322com23 86 . . . . . 6 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (¬ 𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵)))
249, 2soirri 6128 . . . . . . . 8 ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)
25 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐴 → (𝐶 +P 𝐵) = (𝐶 +P 𝐴))
2625breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐴)))
2724, 26mtbiri 327 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → ¬ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵))
2827pm2.21d 121 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
2923, 28pm2.61d2 181 . . . . 5 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → ((𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵) → 𝐴<P 𝐵))
305, 29impbid 211 . . . 4 ((𝐶P ∧ (𝐵P𝐴P)) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
31303impb 1116 . . 3 ((𝐶P𝐵P𝐴P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
32313com13 1125 . 2 ((𝐴P𝐵P𝐶P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
331, 2, 3, 32ndmovord 7597 1 (𝐶P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (𝐶 +P 𝐴)<P (𝐶 +P 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149   Or wor 5588  (class class class)co 7409  Pcnp 10854   +P cpp 10856  <P cltp 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976  df-plp 10978  df-ltp 10980
This theorem is referenced by:  addcanpr  11041  ltsrpr  11072  gt0srpr  11073  ltsosr  11089  ltasr  11095  ltpsrpr  11104  map2psrpr  11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator