MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltanq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltanq 10914
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltanq (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))

Proof of Theorem ltanq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addnqf 10891 . . 3 +Q :(Q ร— Q)โŸถQ
21fdmi 6685 . 2 dom +Q = (Q ร— Q)
3 ltrelnq 10869 . 2 <Q โŠ† (Q ร— Q)
4 0nnq 10867 . 2 ยฌ โˆ… โˆˆ Q
5 ordpinq 10886 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
653adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
7 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
873ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ถ โˆˆ (N ร— N))
9 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
1093ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
11 addpipq2 10879 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
128, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +pQ ๐ด) = โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ)
13 elpqn 10868 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
14133ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
15 addpipq2 10879 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ถ +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
168, 14, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +pQ ๐ต) = โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
1712, 16breq12d 5123 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ +pQ ๐ด) <pQ (๐ถ +pQ ๐ต) โ†” โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
18 addpqnq 10881 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ด)))
1918ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ด)))
20193adant2 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ด) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ด)))
21 addpqnq 10881 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ต)))
2221ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ต)))
23223adant1 1131 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ต) = ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ต)))
2420, 23breq12d 5123 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ต))))
25 lterpq 10913 . . . . 5 ((๐ถ +pQ ๐ด) <pQ (๐ถ +pQ ๐ต) โ†” ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ด)) <Q ([Q]โ€˜(๐ถ +pQ ๐ต)))
2624, 25bitr4di 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต) โ†” (๐ถ +pQ ๐ด) <pQ (๐ถ +pQ ๐ต)))
27 xp2nd 7959 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
288, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
29 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
3028, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N)
31 ltmpi 10847 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) โˆˆ N โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
33 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
35 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
3628, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
37 xp1st 7958 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
388, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N)
39 xp2nd 7959 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
4010, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
41 mulclpi 10836 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ถ) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
4238, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N)
43 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N โˆง ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โˆˆ N) โ†’ (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
4436, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N)
45 ltapi 10846 . . . . . . . 8 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โˆˆ N โ†’ ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) <N ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) โ†” ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) <N ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))))
4732, 46bitrd 279 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) <N ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))))
48 mulcompi 10839 . . . . . . . . . 10 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
49 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐ด) โˆˆ V
50 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ V
51 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ถ) โˆˆ V
52 mulcompi 10839 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
53 mulasspi 10840 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
5449, 50, 51, 52, 53, 51caov411 7591 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
5548, 54eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
5655oveq2i 7373 . . . . . . . 8 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
57 distrpi 10841 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))) = ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
58 mulcompi 10839 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))) = ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
5956, 57, 583eqtr2i 2771 . . . . . . 7 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) = ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
60 mulcompi 10839 . . . . . . . . . 10 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
61 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐ถ) โˆˆ V
62 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ V
6361, 62, 51, 52, 53, 50caov411 7591 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
6460, 63eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
65 mulcompi 10839 . . . . . . . . . 10 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
66 fvex 6860 . . . . . . . . . . 11 (1st โ€˜๐ต) โˆˆ V
6766, 62, 51, 52, 53, 51caov411 7591 . . . . . . . . . 10 (((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
6865, 67eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) = (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))
6964, 68oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
70 distrpi 10841 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))) = ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))))
71 mulcompi 10839 . . . . . . . 8 (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) ยทN (((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)))) = ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
7269, 70, 713eqtr2i 2771 . . . . . . 7 ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) = ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
7359, 72breq12i 5119 . . . . . 6 (((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))) <N ((((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) ยทN ((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))) +N (((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ถ)) ยทN ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))) โ†” ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
7447, 73bitrdi 287 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))))
75 ordpipq 10885 . . . . 5 (โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โ†” ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))) <N ((((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))) ยทN ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
7674, 75bitr4di 289 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) +N ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ด))โŸฉ <pQ โŸจ(((1st โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) +N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ถ))), ((2nd โ€˜๐ถ) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ))
7717, 26, 763bitr4rd 312 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)) โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
786, 77bitrd 279 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
792, 3, 4, 78ndmovord 7549 1 (๐ถ โˆˆ Q โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Ncnpi 10787   +N cpli 10788   ยทN cmi 10789   <N clti 10790   +pQ cplpq 10791   <pQ cltpq 10793  Qcnq 10795  [Q]cerq 10797   +Q cplq 10798   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-1nq 10859  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  ltaddnq  10917  ltbtwnnq  10921  addclpr  10961  distrlem4pr  10969  ltexprlem3  10981  ltexprlem4  10982  ltexprlem6  10984  prlem936  10990
  Copyright terms: Public domain W3C validator