Theorem omsucelsucb 8482

Description: Membership is inherited by successors for natural numbers. (Contributed by AV, 15-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucelsucb	⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)

Proof of Theorem omsucelsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7897	. 2 ⊢ Ord ω
2		ordsucelsuc 7843	. 2 ⊢ (Ord ω → (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Ord word 6368  suc csuc 6371  ωcom 7887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-om 7888

This theorem is used by:  satf0suc  36265  sat1el2xp  36268  fmlasuc0  36273