Theorem omsucelsucb 8450

Description: Membership is inherited by successors for natural numbers. (Contributed by AV, 15-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucelsucb	⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)

Proof of Theorem omsucelsucb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7873	. 2 ⊢ Ord ω
2		ordsucelsuc 7819	. 2 ⊢ (Ord ω → (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Ord word 6356  suc csuc 6359  ωcom 7863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-om 7864

This theorem is used by:  satf0suc  35958  sat1el2xp  35961  fmlasuc0  35966