MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsucelsucb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsucelsucb 8372
Description: Membership is inherited by successors for natural numbers. (Contributed by AV, 15-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
omsucelsucb (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)

Proof of Theorem omsucelsucb
StepHypRef Expression
1 ordom 7803 . 2 Ord ω
2 ordsucelsuc 7748 . 2 (Ord ω → (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω))
31, 2ax-mp 5 1 (𝑁 ∈ ω ↔ suc 𝑁 ∈ suc ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  Ord word 6313  suc csuc 6316  ωcom 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5222  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-om 7794
This theorem is referenced by:  satf0suc  33750  sat1el2xp  33753  fmlasuc0  33758
  Copyright terms: Public domain W3C validator