Theorem ordom 7832

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7831	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7826	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7733	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6337	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3911  Tr wtr 5209  Ord word 6319  Oncon0 6320  ωcom 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-om 7823

This theorem is referenced by:  omon  7834  limom  7838  ssnlim  7842  peano5  7849  omsucelsucb  8403  nnarcl  8557  nnawordex  8578  oaabslem  8588  oaabs2  8590  omabslem  8591  ominf  9181  ominfOLD  9182  findcard3  9205  findcard3OLD  9206  nnsdomg  9222  nnsdomgOLD  9223  dffi3  9358  wofib  9474  alephgeom  10011  iscard3  10022  iunfictbso  10043  unctb  10133  ackbij2lem1  10147  ackbij1lem3  10150  ackbij1lem18  10165  ackbij2  10171  cflim2  10192  fin23lem26  10254  fin23lem23  10255  fin23lem27  10257  fin67  10324  alephexp1  10508  pwfseqlem3  10589  pwdjundom  10596  winainflem  10622  wunex2  10667  om2uzoi  13896  ltweuz  13902  fz1isolem  14402  1stcrestlem  23372  om2noseqoi  28237  satfn  35335  hfuni  36165  hfninf  36167  finxpreclem4  37375  oaordnrex  43277  omnord1ex  43286  oenord1ex  43297  omabs2  43314  tfsconcat0b  43328  rn1st  45260