Theorem ordom 7871

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7870	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7865	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7775	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6378	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1487	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3913  Tr wtr 5222  Ord word 6360  Oncon0 6361  ωcom 7861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-om 7862

This theorem is referenced by:  omon  7873  limom  7877  ssnlim  7881  peano5  7889  omsucelsucb  8444  nnarcl  8601  nnawordex  8622  oaabslem  8632  oaabs2  8634  omabslem  8635  ominf  9223  findcard3  9242  nnsdomg  9258  tfsnfin2  9319  dffi3  9390  wofib  9506  alephgeom  10065  iscard3  10076  iunfictbso  10097  unctb  10186  ackbij2lem1  10200  ackbij1lem3  10203  ackbij1lem18  10218  ackbij2  10224  cflim2  10246  fin23lem26  10308  fin23lem23  10309  fin23lem27  10311  fin67  10378  alephexp1  10563  pwfseqlem3  10644  pwdjundom  10651  winainflem  10677  wunex2  10722  om2uzoi  13990  ltweuz  13996  fz1isolem  14497  1stcrestlem  23577  om2noseqoi  28461  oldfib  28535  z12bdaylem  28642  satfn  35745  hfuni  36574  hfninf  36576  bj-iomnnom  37790  finxpreclem4  37927  oaordnrex  43913  omnord1ex  43922  oenord1ex  43933  omabs2  43950  tfsconcat0b  43964  rn1st  45879