Theorem ordom 7821

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7820	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7815	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7725	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6335	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3890  Tr wtr 5193  Ord word 6317  Oncon0 6318  ωcom 7811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-om 7812

This theorem is referenced by:  omon  7823  limom  7827  ssnlim  7831  peano5  7838  omsucelsucb  8391  nnarcl  8546  nnawordex  8567  oaabslem  8577  oaabs2  8579  omabslem  8580  ominf  9168  findcard3  9187  nnsdomg  9203  tfsnfin2  9267  dffi3  9338  wofib  9454  alephgeom  9998  iscard3  10009  iunfictbso  10030  unctb  10120  ackbij2lem1  10134  ackbij1lem3  10137  ackbij1lem18  10152  ackbij2  10158  cflim2  10179  fin23lem26  10241  fin23lem23  10242  fin23lem27  10244  fin67  10311  alephexp1  10496  pwfseqlem3  10577  pwdjundom  10584  winainflem  10610  wunex2  10655  om2uzoi  13911  ltweuz  13917  fz1isolem  14417  1stcrestlem  23430  om2noseqoi  28312  oldfib  28386  z12bdaylem  28493  satfn  35556  hfuni  36385  hfninf  36387  bj-iomnnom  37592  finxpreclem4  37727  oaordnrex  43744  omnord1ex  43753  oenord1ex  43764  omabs2  43781  tfsconcat0b  43795  rn1st  45723