Theorem ordom 7697

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7696	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7691	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7604	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6268	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1459	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  Tr wtr 5187  Ord word 6250  Oncon0 6251  ωcom 7687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-om 7688

This theorem is referenced by:  omon  7699  limom  7703  ssnlim  7707  omsindsOLD  7709  peano5  7714  peano5OLD  7715  omsucelsucb  8259  nnarcl  8409  nnawordex  8430  oaabslem  8437  oaabs2  8439  omabslem  8440  onomeneq  8943  ominf  8964  findcard3  8987  nnsdomg  9003  dffi3  9120  wofib  9234  alephgeom  9769  iscard3  9780  iunfictbso  9801  unctb  9892  ackbij2lem1  9906  ackbij1lem3  9909  ackbij1lem18  9924  ackbij2  9930  cflim2  9950  fin23lem26  10012  fin23lem23  10013  fin23lem27  10015  fin67  10082  alephexp1  10266  pwfseqlem3  10347  pwdjundom  10354  winainflem  10380  wunex2  10425  om2uzoi  13603  ltweuz  13609  fz1isolem  14103  1stcrestlem  22511  satfn  33217  hfuni  34413  hfninf  34415  finxpreclem4  35492