Theorem ordom 7809

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7808	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7803	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7713	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6324	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3903  Tr wtr 5199  Ord word 6306  Oncon0 6307  ωcom 7799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-om 7800

This theorem is referenced by:  omon  7811  limom  7815  ssnlim  7819  peano5  7826  omsucelsucb  8380  nnarcl  8534  nnawordex  8555  oaabslem  8565  oaabs2  8567  omabslem  8568  ominf  9153  findcard3  9172  nnsdomg  9188  dffi3  9321  wofib  9437  alephgeom  9976  iscard3  9987  iunfictbso  10008  unctb  10098  ackbij2lem1  10112  ackbij1lem3  10115  ackbij1lem18  10130  ackbij2  10136  cflim2  10157  fin23lem26  10219  fin23lem23  10220  fin23lem27  10222  fin67  10289  alephexp1  10473  pwfseqlem3  10554  pwdjundom  10561  winainflem  10587  wunex2  10632  om2uzoi  13862  ltweuz  13868  fz1isolem  14368  1stcrestlem  23337  om2noseqoi  28202  satfn  35332  hfuni  36162  hfninf  36164  finxpreclem4  37372  oaordnrex  43272  omnord1ex  43281  oenord1ex  43292  omabs2  43309  tfsconcat0b  43323  rn1st  45255