Theorem ordom 7818

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7817	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7812	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7722	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6334	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3901  Tr wtr 5205  Ord word 6316  Oncon0 6317  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-om 7809

This theorem is referenced by:  omon  7820  limom  7824  ssnlim  7828  peano5  7835  omsucelsucb  8389  nnarcl  8544  nnawordex  8565  oaabslem  8575  oaabs2  8577  omabslem  8578  ominf  9164  findcard3  9183  nnsdomg  9199  tfsnfin2  9263  dffi3  9334  wofib  9450  alephgeom  9992  iscard3  10003  iunfictbso  10024  unctb  10114  ackbij2lem1  10128  ackbij1lem3  10131  ackbij1lem18  10146  ackbij2  10152  cflim2  10173  fin23lem26  10235  fin23lem23  10236  fin23lem27  10238  fin67  10305  alephexp1  10490  pwfseqlem3  10571  pwdjundom  10578  winainflem  10604  wunex2  10649  om2uzoi  13878  ltweuz  13884  fz1isolem  14384  1stcrestlem  23396  om2noseqoi  28299  oldfib  28373  z12bdaylem  28480  satfn  35549  hfuni  36378  hfninf  36380  finxpreclem4  37599  oaordnrex  43537  omnord1ex  43546  oenord1ex  43557  omabs2  43574  tfsconcat0b  43588  rn1st  45517