Theorem ordom 7632

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7631	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7626	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7539	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6208	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3853  Tr wtr 5146  Ord word 6190  Oncon0 6191  ωcom 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-11 2160  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5147  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-om 7623

This theorem is referenced by:  omon  7634  limom  7638  ssnlim  7642  omsindsOLD  7644  peano5  7649  peano5OLD  7650  omsucelsucb  8172  nnarcl  8322  nnawordex  8343  oaabslem  8350  oaabs2  8352  omabslem  8353  onomeneq  8845  ominf  8866  findcard3  8892  nnsdomg  8908  dffi3  9025  wofib  9139  alephgeom  9661  iscard3  9672  iunfictbso  9693  unctb  9784  ackbij2lem1  9798  ackbij1lem3  9801  ackbij1lem18  9816  ackbij2  9822  cflim2  9842  fin23lem26  9904  fin23lem23  9905  fin23lem27  9907  fin67  9974  alephexp1  10158  pwfseqlem3  10239  pwdjundom  10246  winainflem  10272  wunex2  10317  om2uzoi  13493  ltweuz  13499  fz1isolem  13992  1stcrestlem  22303  satfn  32984  hfuni  34172  hfninf  34174  finxpreclem4  35251