Theorem ordom 7876

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7875	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7870	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7776	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6374	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3931  Tr wtr 5234  Ord word 6356  Oncon0 6357  ωcom 7866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-om 7867

This theorem is referenced by:  omon  7878  limom  7882  ssnlim  7886  peano5  7894  omsucelsucb  8477  nnarcl  8633  nnawordex  8654  oaabslem  8664  oaabs2  8666  omabslem  8667  onomeneqOLD  9243  ominf  9271  ominfOLD  9272  findcard3  9295  findcard3OLD  9296  nnsdomg  9312  nnsdomgOLD  9313  dffi3  9448  wofib  9564  alephgeom  10101  iscard3  10112  iunfictbso  10133  unctb  10223  ackbij2lem1  10237  ackbij1lem3  10240  ackbij1lem18  10255  ackbij2  10261  cflim2  10282  fin23lem26  10344  fin23lem23  10345  fin23lem27  10347  fin67  10414  alephexp1  10598  pwfseqlem3  10679  pwdjundom  10686  winainflem  10712  wunex2  10757  om2uzoi  13978  ltweuz  13984  fz1isolem  14484  1stcrestlem  23395  om2noseqoi  28254  satfn  35382  hfuni  36207  hfninf  36209  finxpreclem4  37417  oaordnrex  43286  omnord1ex  43295  oenord1ex  43306  omabs2  43323  tfsconcat0b  43337  rn1st  45264