Theorem ordom 7816

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7815	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7810	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7720	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6327	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1469	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  Tr wtr 5179  Ord word 6309  Oncon0 6310  ωcom 7806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-om 7807

This theorem is referenced by:  omon  7818  limom  7822  ssnlim  7826  peano5  7833  omsucelsucb  8387  nnarcl  8542  nnawordex  8563  oaabslem  8573  oaabs2  8575  omabslem  8576  ominf  9164  findcard3  9183  nnsdomg  9199  tfsnfin2  9263  dffi3  9334  wofib  9450  alephgeom  9995  iscard3  10006  iunfictbso  10027  unctb  10117  ackbij2lem1  10131  ackbij1lem3  10134  ackbij1lem18  10149  ackbij2  10155  cflim2  10176  fin23lem26  10238  fin23lem23  10239  fin23lem27  10241  fin67  10308  alephexp1  10493  pwfseqlem3  10574  pwdjundom  10581  winainflem  10607  wunex2  10652  om2uzoi  13908  ltweuz  13914  fz1isolem  14414  1stcrestlem  23435  om2noseqoi  28313  oldfib  28387  z12bdaylem  28494  satfn  35583  hfuni  36412  hfninf  36414  bj-iomnnom  37619  finxpreclem4  37756  oaordnrex  43740  omnord1ex  43749  oenord1ex  43760  omabs2  43777  tfsconcat0b  43791  rn1st  45717