Theorem ordom 7722

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7721	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7716	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7627	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6283	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1460	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3887  Tr wtr 5191  Ord word 6265  Oncon0 6266  ωcom 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-om 7713

This theorem is referenced by:  omon  7724  limom  7728  ssnlim  7732  omsindsOLD  7734  peano5  7740  peano5OLD  7741  omsucelsucb  8289  nnarcl  8447  nnawordex  8468  oaabslem  8477  oaabs2  8479  omabslem  8480  onomeneqOLD  9012  ominf  9035  findcard3  9057  nnsdomg  9073  dffi3  9190  wofib  9304  alephgeom  9838  iscard3  9849  iunfictbso  9870  unctb  9961  ackbij2lem1  9975  ackbij1lem3  9978  ackbij1lem18  9993  ackbij2  9999  cflim2  10019  fin23lem26  10081  fin23lem23  10082  fin23lem27  10084  fin67  10151  alephexp1  10335  pwfseqlem3  10416  pwdjundom  10423  winainflem  10449  wunex2  10494  om2uzoi  13675  ltweuz  13681  fz1isolem  14175  1stcrestlem  22603  satfn  33317  hfuni  34486  hfninf  34488  finxpreclem4  35565