Theorem ordom 7806

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7805	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7800	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7710	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6323	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1463	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3897  Tr wtr 5196  Ord word 6305  Oncon0 6306  ωcom 7796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-om 7797

This theorem is referenced by:  omon  7808  limom  7812  ssnlim  7816  peano5  7823  omsucelsucb  8377  nnarcl  8531  nnawordex  8552  oaabslem  8562  oaabs2  8564  omabslem  8565  ominf  9148  findcard3  9167  nnsdomg  9183  dffi3  9315  wofib  9431  alephgeom  9973  iscard3  9984  iunfictbso  10005  unctb  10095  ackbij2lem1  10109  ackbij1lem3  10112  ackbij1lem18  10127  ackbij2  10133  cflim2  10154  fin23lem26  10216  fin23lem23  10217  fin23lem27  10219  fin67  10286  alephexp1  10470  pwfseqlem3  10551  pwdjundom  10558  winainflem  10584  wunex2  10629  om2uzoi  13862  ltweuz  13868  fz1isolem  14368  1stcrestlem  23367  om2noseqoi  28233  satfn  35399  hfuni  36228  hfninf  36230  finxpreclem4  37438  oaordnrex  43398  omnord1ex  43407  oenord1ex  43418  omabs2  43435  tfsconcat0b  43449  rn1st  45380