Theorem ordom 7827

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7826	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7821	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7731	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6340	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1464	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3889  Tr wtr 5192  Ord word 6322  Oncon0 6323  ωcom 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-om 7818

This theorem is referenced by:  omon  7829  limom  7833  ssnlim  7837  peano5  7844  omsucelsucb  8397  nnarcl  8552  nnawordex  8573  oaabslem  8583  oaabs2  8585  omabslem  8586  ominf  9174  findcard3  9193  nnsdomg  9209  tfsnfin2  9273  dffi3  9344  wofib  9460  alephgeom  10004  iscard3  10015  iunfictbso  10036  unctb  10126  ackbij2lem1  10140  ackbij1lem3  10143  ackbij1lem18  10158  ackbij2  10164  cflim2  10185  fin23lem26  10247  fin23lem23  10248  fin23lem27  10250  fin67  10317  alephexp1  10502  pwfseqlem3  10583  pwdjundom  10590  winainflem  10616  wunex2  10661  om2uzoi  13917  ltweuz  13923  fz1isolem  14423  1stcrestlem  23417  om2noseqoi  28295  oldfib  28369  z12bdaylem  28476  satfn  35537  hfuni  36366  hfninf  36368  bj-iomnnom  37573  finxpreclem4  37710  oaordnrex  43723  omnord1ex  43732  oenord1ex  43743  omabs2  43760  tfsconcat0b  43774  rn1st  45702