Theorem ordom 7886

Description: The class of finite ordinals ω is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. Theorem 1.22 of [Schloeder] p. 3. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trom 7885	. 2 ⊢ Tr ω
2		omsson 7880	. 2 ⊢ ω ⊆ On
3		ordon 7785	. 2 ⊢ Ord On
4		trssord 6393	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1458	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   ⊆ wss 3947  Tr wtr 5270  Ord word 6375  Oncon0 6376  ωcom 7876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-om 7877

This theorem is referenced by:  omon  7888  limom  7892  ssnlim  7896  omsindsOLD  7898  peano5  7905  peano5OLD  7906  omsucelsucb  8488  nnarcl  8646  nnawordex  8667  oaabslem  8677  oaabs2  8679  omabslem  8680  onomeneqOLD  9263  ominf  9292  ominfOLD  9293  findcard3  9319  findcard3OLD  9320  nnsdomg  9336  nnsdomgOLD  9337  dffi3  9474  wofib  9588  alephgeom  10125  iscard3  10136  iunfictbso  10157  unctb  10248  ackbij2lem1  10262  ackbij1lem3  10265  ackbij1lem18  10280  ackbij2  10286  cflim2  10306  fin23lem26  10368  fin23lem23  10369  fin23lem27  10371  fin67  10438  alephexp1  10622  pwfseqlem3  10703  pwdjundom  10710  winainflem  10736  wunex2  10781  om2uzoi  13975  ltweuz  13981  fz1isolem  14480  1stcrestlem  23447  om2noseqoi  28277  satfn  35183  hfuni  36008  hfninf  36010  finxpreclem4  37101  oaordnrex  42961  omnord1ex  42970  oenord1ex  42981  omabs2  42998  tfsconcat0b  43012  rn1st  44883