Theorem omsucne 7879

Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucne	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7868	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		orddisj 6399	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4		snnzg 4739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5		disjpss 4420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
7	6	pssned 4054	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8		df-suc 6366	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	neeq2i 3022	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	7, 9	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285  {csn 4588  Ord word 6359  suc csuc 6362  ωcom 7860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-om 7861

This theorem is used by:  1one2o  8630