Theorem omsucne 7906

Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucne	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7895	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		orddisj 6424	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4		snnzg 4779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5		disjpss 4467	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
7	6	pssned 4111	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8		df-suc 6392	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	neeq2i 3004	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	7, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  {csn 4631  Ord word 6385  suc csuc 6388  ωcom 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-om 7888

This theorem is referenced by:  1one2o  8683