MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsucne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsucne 7582
Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
omsucne (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne
StepHypRef Expression
1 nnord 7572 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2 orddisj 6201 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4 snnzg 4673 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5 disjpss 4371 . . . 4 (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
63, 4, 5syl2anc 587 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
76pssned 4029 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8 df-suc 6169 . . 3 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
98neeq2i 3055 . 2 (𝐴 ≠ suc 𝐴𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
107, 9sylibr 237 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cun 3882  cin 3883  wpss 3885  c0 4246  {csn 4528  Ord word 6162  suc csuc 6165  ωcom 7564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-om 7565
This theorem is referenced by:  1one2o  8256
  Copyright terms: Public domain W3C validator