Theorem omsucne 7870

Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucne	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		orddisj 6395	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4		snnzg 4773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5		disjpss 4455	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
7	6	pssned 4093	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8		df-suc 6363	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	neeq2i 3000	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	7, 9	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ⊊ wpss 3944  ∅c0 4317  {csn 4623  Ord word 6356  suc csuc 6359  ωcom 7851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-om 7852

This theorem is referenced by:  1one2o  8644