Theorem omsucne 7867

Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucne	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		orddisj 6386	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4		snnzg 4735	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5		disjpss 4417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
7	6	pssned 4056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8		df-suc 6354	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	neeq2i 3024	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	7, 9	sylibr 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊊ wpss 3907  ∅c0 4287  {csn 4584  Ord word 6347  suc csuc 6350  ωcom 7848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-ord 6351  df-on 6352  df-suc 6354  df-om 7849

This theorem is referenced by:  1one2o  8618