Theorem omsucne 7827

Description: A natural number is not the successor of itself. (Contributed by AV, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omsucne	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Proof of Theorem omsucne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 7816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
2		orddisj 6355	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
4		snnzg 4731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → {𝐴} ≠ ∅)
5		disjpss 4413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ∧ {𝐴} ≠ ∅) → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ (𝐴 ∪ {𝐴}))
7	6	pssned 4053	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
8		df-suc 6323	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	neeq2i 2997	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (𝐴 ∪ {𝐴}))
10	7, 9	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≠ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊊ wpss 3902  ∅c0 4285  {csn 4580  Ord word 6316  suc csuc 6319  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-om 7809

This theorem is referenced by:  1one2o  8574