Theorem nnsuc 7814

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 7810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ Lim 𝐴)
3		nnord 7804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4		orduninsuc 7773	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		df-lim 6311	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
7	6	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) → Lim 𝐴)
8	7	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 → Lim 𝐴))
9	5, 8	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
10	3, 9	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
11	2, 10	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
12		eleq1 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
13	12	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → suc 𝑥 ∈ ω))
14		peano2b 7813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
15	13, 14	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → 𝑥 ∈ ω))
16	15	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
17	16	adantld 490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
18	17	reximdv2 3142	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
20	11, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856  Ord word 6305  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  suc csuc 6308  ωcom 7796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-om 7797

This theorem is referenced by:  peano5  7823  nn0suc  7824  inf3lemd  9517  infpssrlem4  10197  fin1a2lem6  10296  bnj158  34741  bnj1098  34795  bnj594  34924  fineqvnttrclse  35144  gonar  35439  goalr  35441  satffun  35453