Theorem nnsuc 7895

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 7891	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ Lim 𝐴)
3		nnord 7885	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4		orduninsuc 7854	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		df-lim 6367	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
7	6	biimpri 231	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) → Lim 𝐴)
8	7	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 → Lim 𝐴))
9	5, 8	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
10	3, 9	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
11	2, 10	mt3d 149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
12		eleq1 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
13	12	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → suc 𝑥 ∈ ω))
14		peano2b 7894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
15	13, 14	imbitrrdi 255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → 𝑥 ∈ ω))
16	15	ancrd 561	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
17	16	adantld 496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
18	17	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
19	18	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
20	11, 19	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  ωcom 7877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-om 7878

This theorem is used by:  peano5  7905  nn0suc  7906  inf3lemd  9628  infpssrlem4  10384  fin1a2lem6  10483  bnj158  35360  bnj1098  35414  bnj594  35542  fineqvnttrclse  35792  gonar  36160  goalr  36162  satffun  36174  mh-inf3f1  37329