Theorem nnsuc 7860

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 7856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ Lim 𝐴)
3		nnord 7850	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4		orduninsuc 7819	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		df-lim 6337	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
7	6	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) → Lim 𝐴)
8	7	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 → Lim 𝐴))
9	5, 8	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
10	3, 9	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
11	2, 10	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
12		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
13	12	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → suc 𝑥 ∈ ω))
14		peano2b 7859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
15	13, 14	imbitrrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → 𝑥 ∈ ω))
16	15	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
17	16	adantld 490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
18	17	reximdv2 3143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
20	11, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4296  ∪ cuni 4871  Ord word 6331  Oncon0 6332  Lim wlim 6333  suc csuc 6334  ωcom 7842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-om 7843

This theorem is referenced by:  peano5  7869  nn0suc  7870  inf3lemd  9580  infpssrlem4  10259  fin1a2lem6  10358  bnj158  34719  bnj1098  34773  bnj594  34902  gonar  35382  goalr  35384  satffun  35396