Theorem nnsuc 7866

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 7862	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ Lim 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ Lim 𝐴)
3		nnord 7856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
4		orduninsuc 7825	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥))
6		df-lim 6359	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
7	6	biimpri 227	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) → Lim 𝐴)
8	7	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 = ∪ 𝐴 → Lim 𝐴))
9	5, 8	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
10	3, 9	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → Lim 𝐴))
11	2, 10	mt3d 148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥)
12		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω))
13	12	biimpcd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → suc 𝑥 ∈ ω))
14		peano2b 7865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
15	13, 14	imbitrrdi 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → 𝑥 ∈ ω))
16	15	ancrd 551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
17	16	adantld 490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)))
18	17	reximdv2 3156	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
19	18	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ On 𝐴 = suc 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
20	11, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  ∅c0 4314  ∪ cuni 4899  Ord word 6353  Oncon0 6354  Lim wlim 6355  suc csuc 6356  ωcom 7848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-om 7849

This theorem is referenced by:  peano5  7877  peano5OLD  7878  nn0suc  7879  inf3lemd  9618  infpssrlem4  10297  fin1a2lem6  10396  bnj158  34229  bnj1098  34283  bnj594  34412  gonar  34875  goalr  34877  satffun  34889