Theorem alephord 9997

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 9996	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		brsdom 8923	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
4		alephon 9991	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5		alephon 9991	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
6		domtriord 9063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴))
8		alephordi 9996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
9	8	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10	7, 9	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ontri1 6359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	11, 12	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
14		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
15		eqeng 8935	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
16	4, 14, 15	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
17	16	necon3bi 2959	. . . . 5 ⊢ (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	13, 17	anim12d1 611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
19		onelpss 6365	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
20	18, 19	sylibrd 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	3, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
22	2, 21	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  ℵcale 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-oi 9427  df-har 9474  df-card 9863  df-aleph 9864

This theorem is referenced by:  alephord2  9998  alephdom  10003  alephval2  10495  alephiso2  43908