Theorem alephord 10111

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 10110	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		brsdom 8998	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
4		alephon 10105	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5		alephon 10105	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
6		domtriord 9153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴))
8		alephordi 10110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
9	8	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10	7, 9	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ontri1 6402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	11, 12	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
14		fveq2 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
15		eqeng 9009	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
16	4, 14, 15	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
17	16	necon3bi 2957	. . . . 5 ⊢ (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	13, 17	anim12d1 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
19		onelpss 6408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
20	18, 19	sylibrd 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	3, 20	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
22	2, 21	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5145  Oncon0 6368  ‘cfv 6546   ≈ cen 8963   ≼ cdom 8964   ≺ csdm 8965  ℵcale 9972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-oi 9546  df-har 9593  df-card 9975  df-aleph 9976

This theorem is referenced by:  alephord2  10112  alephdom  10117  alephval2  10606  alephiso2  43262