Theorem alephord 9831

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephordi 9830	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
3		brsdom 8763	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
4		alephon 9825	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
5		alephon 9825	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
6		domtriord 8910	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴))
8		alephordi 9830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐵 ∈ 𝐴 → (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴)))
9	8	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (¬ (ℵ‘𝐵) ≺ (ℵ‘𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
10	7, 9	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ontri1 6300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
13	11, 12	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
14		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵))
15		eqeng 8774	. . . . . . 7 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ On → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)))
16	4, 14, 15	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵))
17	16	necon3bi 2970	. . . . 5 ⊢ (¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	13, 17	anim12d1 610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
19		onelpss 6306	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
20	18, 19	sylibrd 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (((ℵ‘𝐴) ≼ (ℵ‘𝐵) ∧ ¬ (ℵ‘𝐴) ≈ (ℵ‘𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵))
21	3, 20	syl5bi 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵))
22	2, 21	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  Oncon0 6266  ‘cfv 6433   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  ℵcale 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-oi 9269  df-har 9316  df-card 9697  df-aleph 9698

This theorem is referenced by:  alephord2  9832  alephdom  9837  alephval2  10328  alephiso2  41165