Theorem onsseleq 6348

Description: Relationship between subset and membership of an ordinal number. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsseleq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem onsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6317	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6317	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordsseleq 6336	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  Ord word 6306  Oncon0 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311

This theorem is referenced by:  onsseli  6429  on0eqel  6432  onmindif2  7743  omword  8488  oeword  8508  oewordi  8509  dffi3  9321  cantnflem1d  9584  cantnflem1  9585  r1ord3g  9675  alephdom  9975  cardaleph  9983  cfsmolem  10164  ttukeylem5  10407  alephreg  10476  inar1  10669  gruina  10712  om2uzlt2i  13858  nolt02o  27605  nogt01o  27606  nosupbnd2lem1  27625  noinfbnd2lem1  27640  madebday  27814  om2noseqlt2  28199  oege2  43280  ontric3g  43495