Theorem onsseleq 6427

Description: Relationship between subset and membership of an ordinal number. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
onsseleq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem onsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 6396	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordsseleq 6415	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  Ord word 6385  Oncon0 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390

This theorem is referenced by:  onsseli  6507  on0eqel  6510  onmindif2  7827  omword  8607  oeword  8627  oewordi  8628  dffi3  9469  cantnflem1d  9726  cantnflem1  9727  r1ord3g  9817  alephdom  10119  cardaleph  10127  cfsmolem  10308  ttukeylem5  10551  alephreg  10620  inar1  10813  gruina  10856  om2uzlt2i  13989  nolt02o  27755  nogt01o  27756  nosupbnd2lem1  27775  noinfbnd2lem1  27790  madebday  27953  om2noseqlt2  28321  oege2  43297  ontric3g  43512