Theorem cardsdom2 10069

Description: A numerable set is strictly dominated by another iff their cardinalities are strictly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardsdom2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem cardsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 10058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		carden2 10068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	2	necon3abid 2991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
5		cardon 10025	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
6		cardon 10025	. . 3 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
7		onelpss 6403	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵))))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)))
9		brsdom 9001	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  Oncon0 6362  ‘cfv 6538   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-card 10020

This theorem is used by:  domtri2  10070  nnsdomel  10071  indcardi  10120  sdom2en01  10380  cardsdom  10639  smobeth  10671  hargch  10758  cardpred  35763