Theorem cardsdom2 9979

Description: A numerable set is strictly dominated by another iff their cardinalities are strictly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardsdom2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem cardsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9968	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		carden2 9978	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	2	necon3abid 2977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
5		cardon 9935	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
6		cardon 9935	. . 3 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
7		onelpss 6401	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵))))
8	5, 6, 7	mp2an 690	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)))
9		brsdom 8967	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6361  ‘cfv 6540   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934  cardccrd 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-card 9930

This theorem is referenced by:  domtri2  9980  nnsdomel  9981  indcardi  10032  sdom2en01  10293  cardsdom  10546  smobeth  10577  hargch  10664  cardpred  34081