Theorem cardsdom2 9996

Description: A numerable set is strictly dominated by another iff their cardinalities are strictly ordered. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cardsdom2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem cardsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9985	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		carden2 9995	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
3	2	necon3abid 2993	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)))
5		cardon 9952	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
6		cardon 9952	. . 3 ⊢ (card‘𝐵) ∈ On
7		onelpss 6402	. . 3 ⊢ (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵))))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐴) ≠ (card‘𝐵)))
9		brsdom 8983	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
10	4, 8, 9	3bitr4g 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   ≈ cen 8952   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  cardccrd 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-card 9947

This theorem is used by:  domtri2  9997  nnsdomel  9998  indcardi  10047  sdom2en01  10307  cardsdom  10566  smobeth  10598  hargch  10685  cardpred  35584