Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssrncard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omssrncard 42276
Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
omssrncard ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7857 . . 3 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2 onelon 6386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5 onelpss 6401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑥)))
65biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
72, 3, 4, 6syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
8 df-pss 3966 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑥))
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
109ex 413 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1211imdistani 569 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥))
13 php 9206 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
15 ensymb 8994 . . . . 5 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
1614, 15sylnib 327 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
1716ralrimiva 3146 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦𝑥 ¬ 𝑦𝑥)
18 elrncard 42273 . . 3 (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝑦𝑥))
191, 17, 18sylanbrc 583 . 2 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
2019ssriv 3985 1 ω ⊆ ran card
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5147  ran crn 5676  Oncon0 6361  ωcom 7851  cen 8932  cardccrd 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930
This theorem is referenced by:  0iscard  42277  1iscard  42278  nna1iscard  42281
  Copyright terms: Public domain W3C validator