Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssrncard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omssrncard 43034
Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
omssrncard ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7873 . . 3 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2 onelon 6389 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
5 onelpss 6404 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑥)))
65biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
72, 3, 4, 6syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
8 df-pss 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑥 ↔ (𝑦𝑥𝑦𝑥))
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
109ex 411 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ On → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1211imdistani 567 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥))
13 php 9231 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
15 ensymb 9019 . . . . 5 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
1614, 15sylnib 327 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
1716ralrimiva 3136 . . 3 (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦𝑥 ¬ 𝑦𝑥)
18 elrncard 43031 . . 3 (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝑦𝑥))
191, 17, 18sylanbrc 581 . 2 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
2019ssriv 3976 1 ω ⊆ ran card
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wss 3940  wpss 3941   class class class wbr 5143  ran crn 5673  Oncon0 6364  ωcom 7867  cen 8957  cardccrd 9956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7868  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960
This theorem is referenced by:  0iscard  43035  1iscard  43036  nna1iscard  43039
  Copyright terms: Public domain W3C validator