Theorem omssrncard 43900

Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omssrncard	⊢ ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7824	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onelon 6350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		onelpss 6365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
7	2, 3, 4, 6	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
8		df-pss 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊊ 𝑥)
10	9	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
12	11	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥))
13		php 9143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
15		ensymb 8951	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑦 ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylnib 328	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
17	16	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
18		elrncard 43897	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥))
19	1, 17, 18	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
20	19	ssriv 3939	1 ⊢ ω ⊆ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100  ran crn 5633  Oncon0 6325  ωcom 7818   ≈ cen 8892  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863

This theorem is referenced by:  0iscard  43901  1iscard  43902  nna1iscard  43905