Theorem omssrncard 43723

Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omssrncard	⊢ ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7812	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onelon 6340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		onelpss 6355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
7	2, 3, 4, 6	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
8		df-pss 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊊ 𝑥)
10	9	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
12	11	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥))
13		php 9129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
15		ensymb 8937	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑦 ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylnib 328	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
17	16	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
18		elrncard 43720	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥))
19	1, 17, 18	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
20	19	ssriv 3935	1 ⊢ ω ⊆ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5096  ran crn 5623  Oncon0 6315  ωcom 7806   ≈ cen 8878  cardccrd 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849

This theorem is referenced by:  0iscard  43724  1iscard  43725  nna1iscard  43728