Theorem omssrncard 44117

Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omssrncard	⊢ ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7853	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onelon 6372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		onelpss 6387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
6	5	biimpa 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
7	2, 3, 4, 6	syl21anc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
8		df-pss 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
9	7, 8	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊊ 𝑥)
10	9	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
12	11	imdistani 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥))
13		php 9176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
15		ensymb 8984	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑦 ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylnib 330	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
17	16	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
18		elrncard 44114	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥))
19	1, 17, 18	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
20	19	ssriv 3941	1 ⊢ ω ⊆ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906   class class class wbr 5101  ran crn 5649  Oncon0 6347  ωcom 7847   ≈ cen 8925  cardccrd 9894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-om 7848  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-card 9898

This theorem is referenced by:  0iscard  44118  1iscard  44119  nna1iscard  44122