Theorem omssrncard 44286

Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omssrncard	⊢ ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7864	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onelon 6385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		onelpss 6401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
6	5	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
7	2, 3, 4, 6	syl21anc 850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
8		df-pss 3925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊊ 𝑥)
10	9	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
11	1, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
12	11	imdistani 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥))
13		php 9187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
15		ensymb 8995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑦 ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylnib 331	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
17	16	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
18		elrncard 44283	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥))
19	1, 17, 18	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
20	19	ssriv 3941	1 ⊢ ω ⊆ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906   class class class wbr 5109  ran crn 5662  Oncon0 6360  ωcom 7858   ≈ cen 8936  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921

This theorem is referenced by:  0iscard  44287  1iscard  44288  nna1iscard  44291