Theorem omssrncard 42872

Description: All natural numbers are cardinals. (Contributed by RP, 1-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
omssrncard	⊢ ω ⊆ ran card

Proof of Theorem omssrncard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7858	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ On)
2		onelon 6383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ On)
3		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
5		onelpss 6398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
7	2, 3, 4, 6	syl21anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
8		df-pss 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊊ 𝑥 ↔ (𝑦 ⊆ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊊ 𝑥)
10	9	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊊ 𝑥))
12	11	imdistani 568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥))
13		php 9212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ 𝑦)
15		ensymb 9000	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑦 ↔ 𝑦 ≈ 𝑥)
16	14, 15	sylnib 328	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
17	16	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥)
18		elrncard 42869	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran card ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≈ 𝑥))
19	1, 17, 18	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ ran card)
20	19	ssriv 3981	1 ⊢ ω ⊆ ran card

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943   ⊊ wpss 3944   class class class wbr 5141  ran crn 5670  Oncon0 6358  ωcom 7852   ≈ cen 8938  cardccrd 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936

This theorem is referenced by:  0iscard  42873  1iscard  42874  nna1iscard  42877