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Theorem omabs2 43321
Description: Ordinal multiplication by a larger ordinal is absorbed when the larger ordinal is either 2 or ω raised to some power of ω. (Contributed by RP, 12-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omabs2 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = 2o ∨ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem omabs2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2827 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → (𝐴𝐵𝐴 ∈ ∅))
2 noel 4343 . . . . . . 7 ¬ 𝐴 ∈ ∅
32pm2.21i 119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
41, 3biimtrdi 253 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐴𝐵 → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)))
54impd 410 . . . 4 (𝐵 = ∅ → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
65com12 32 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵 = ∅ → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
7 elpri 4653 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ {∅, 1o} → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 = 1o))
8 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
9 noel 4343 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ ∈ ∅
109pm2.21i 119 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ ∅ → (𝐴 ·o 2o) = 2o)
118, 10biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
12 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1o → (𝐴 ·o 2o) = (1o ·o 2o))
13 2on 8518 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
14 om1r 8579 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ On → (1o ·o 2o) = 2o)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1o ·o 2o) = 2o
1612, 15eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1o → (𝐴 ·o 2o) = 2o)
1716a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1o → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
1811, 17jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 = 1o) → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
197, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {∅, 1o} → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
20 df2o3 8512 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
2119, 20eleq2s 2856 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 2o → (∅ ∈ 𝐴 → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
2221imp 406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 2o) = 2o)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝐵 = 2o → ((𝐴 ∈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 2o) = 2o))
24 eleq2 2827 . . . . . 6 (𝐵 = 2o → (𝐴𝐵𝐴 ∈ 2o))
2524anbi1d 631 . . . . 5 (𝐵 = 2o → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐴)))
26 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝐵 = 2o → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐴 ·o 2o))
27 id 22 . . . . . 6 (𝐵 = 2o𝐵 = 2o)
2826, 27eqeq12d 2750 . . . . 5 (𝐵 = 2o → ((𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·o 2o) = 2o))
2923, 25, 283imtr4d 294 . . . 4 (𝐵 = 2o → ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
3029com12 32 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵 = 2o → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
31 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
32 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → ∅ ∈ 𝐴)
33 omelon 9683 . . . . . . . . . 10 ω ∈ On
34 oecl 8573 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
3533, 34mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ On → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
3736ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
3833jctl 523 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ On → (ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On))
39 peano1 7910 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
40 oen0 8622 . . . . . . . . . 10 (((ω ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐶))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ On → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐶))
4241adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐶))
4342ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐶))
44 omabs 8687 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ((ω ↑o 𝐶) ∈ On ∧ ∅ ∈ (ω ↑o 𝐶))) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
4531, 32, 37, 43, 44syl22anc 839 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
46 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
47 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) → 𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
4846, 47eqeq12d 2750 . . . . . . . 8 (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) → ((𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
5049ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
5145, 50mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
52 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
53 oecl 8573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)
5433, 35, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)
5652, 55eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
57 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴𝐵)
58 onelon 6410 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ On)
5956, 57, 58syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → 𝐴 ∈ On)
60 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → ∅ ∈ 𝐴)
61 ondif1 8537 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))
6259, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → 𝐴 ∈ (On ∖ 1o))
63 1onn 8676 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
64 ondif2 8538 . . . . . . . . . 10 (ω ∈ (On ∖ 2o) ↔ (ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω))
6533, 63, 64mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 ω ∈ (On ∖ 2o)
6662, 65jctil 519 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → (ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → (ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)))
68 oeeu 8639 . . . . . . 7 ((ω ∈ (On ∖ 2o) ∧ 𝐴 ∈ (On ∖ 1o)) → ∃!𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → ∃!𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴))
70 euex 2574 . . . . . . 7 (∃!𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ∃𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴))
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴)
72 0ss 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∅ ⊆ 𝑧
73 0elon 6439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ∈ On
74 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝑥 ∈ On)
75 oecl 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
7633, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
78 onelon 6410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → 𝑧 ∈ On)
7977, 78sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → 𝑧 ∈ On)
80 1on 8516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1o ∈ On
81 omcl 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ 1o ∈ On) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On)
8276, 80, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On)
8382ad5ant12 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On)
84 oaword 8585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∅ ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On) → (∅ ⊆ 𝑧 ↔ (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧)))
8584biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∅ ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On) → (∅ ⊆ 𝑧 → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧)))
8673, 79, 83, 85mp3an2ani 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (∅ ⊆ 𝑧 → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧)))
8772, 86mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧))
88 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o))
89 omsson 7890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ω ⊆ On
90 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ω ⊆ On → (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ω ∖ 1o) ⊆ (On ∖ 1o)
9291sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑦 ∈ (On ∖ 1o))
93 ondif1 8537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝑦 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑦))
94 df-1o 8504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1o = suc ∅
95 eloni 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
96 ordsucss 7837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ord 𝑦 → (∅ ∈ 𝑦 → suc ∅ ⊆ 𝑦))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ On → (∅ ∈ 𝑦 → suc ∅ ⊆ 𝑦))
9897imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑦) → suc ∅ ⊆ 𝑦)
9994, 98eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝑦) → 1o𝑦)
10093, 99sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (On ∖ 1o) → 1o𝑦)
10188, 92, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 1o𝑦)
102 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑦 ∈ ω)
103 nnon 7892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ On)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (ω ∖ 1o) → 𝑦 ∈ On)
105104ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → 𝑦 ∈ On)
106 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10733, 106, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
108 omwordi 8607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1o ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On) → (1o𝑦 → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦)))
10980, 105, 107, 108mp3an2ani 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (1o𝑦 → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦)))
110101, 109mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦))
111105adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑦 ∈ On)
112 omcl 8572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) ∈ On)
113107, 111, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) ∈ On)
11479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑧 ∈ On)
115 oawordri 8586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧)))
11683, 113, 114, 115syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧)))
117110, 116mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧))
11887, 117sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧))
11933, 75mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ On → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
120119, 80, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ On → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On)
121 oa0 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) ∈ On → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) = ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) = ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o))
123 om1 8578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ω ↑o 𝑥) ∈ On → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) = (ω ↑o 𝑥))
124119, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ On → ((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) = (ω ↑o 𝑥))
125122, 124eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ On → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) = (ω ↑o 𝑥))
126106, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 1o) +o ∅) = (ω ↑o 𝑥))
127 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴)
128118, 126, 1273sstr3d 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o 𝑥) ⊆ 𝐴)
129 simp-7l 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝐴𝐵)
130 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → 𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
131130ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
132129, 131eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
13355ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)
134 ontr2 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On) → (((ω ↑o 𝑥) ⊆ 𝐴𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) → (ω ↑o 𝑥) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
135107, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ⊆ 𝐴𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) → (ω ↑o 𝑥) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
136128, 132, 135mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o 𝑥) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
13736ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
13865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ω ∈ (On ∖ 2o))
139 oeord 8624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ↔ (ω ↑o 𝑥) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
140106, 137, 138, 139syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ↔ (ω ↑o 𝑥) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
141136, 140mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶))
142 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ω ⊆ 𝐴)
143142, 128unssd 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴)
144 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥))
145 onelpss 6425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On) → (𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥) ↔ (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ∧ 𝑧 ≠ (ω ↑o 𝑥))))
146145biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On) → (𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ∧ 𝑧 ≠ (ω ↑o 𝑥))))
14779, 107, 146syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ∧ 𝑧 ≠ (ω ↑o 𝑥))))
148144, 147mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ∧ 𝑧 ≠ (ω ↑o 𝑥)))
149 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ∧ 𝑧 ≠ (ω ↑o 𝑥)) → 𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥))
151 oaword 8585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) ∈ On) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) ↔ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥))))
152151biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) ∈ On) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥))))
153114, 107, 113, 152syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑧 ⊆ (ω ↑o 𝑥) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥))))
154150, 153mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥)))
155 omsuc 8562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦) = (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥)))
156107, 111, 155syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦) = (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o (ω ↑o 𝑥)))
157154, 156sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦))
158 ordom 7896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ord ω
15988, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝑦 ∈ ω)
160 ordsucss 7837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord ω → (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ⊆ ω))
161158, 159, 160mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → suc 𝑦 ⊆ ω)
162 oe1 8580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ω ∈ On → (ω ↑o 1o) = ω)
16333, 162ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ω ↑o 1o) = ω
164 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
165164oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
166 oe0 8558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ω ∈ On → (ω ↑o ∅) = 1o)
16733, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ω ↑o ∅) = 1o
168165, 167eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (ω ↑o 𝑥) = 1o)
169168oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) = (1o ·o 𝑦))
170104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) → 𝑦 ∈ On)
171170ad5ant12 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑦 ∈ On)
172 om1r 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ On → (1o ·o 𝑦) = 𝑦)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (1o ·o 𝑦) = 𝑦)
174169, 173eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) = 𝑦)
175 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥))
176175, 168eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑧 ∈ 1o)
177 el1o 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ 1o𝑧 = ∅)
178176, 177sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑧 = ∅)
179174, 178oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = (𝑦 +o ∅))
180 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴)
181 oa0 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ On → (𝑦 +o ∅) = 𝑦)
182171, 181syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑦 +o ∅) = 𝑦)
183179, 180, 1823eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝐴 = 𝑦)
184159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑦 ∈ ω)
185183, 184eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝐴 ∈ ω)
186185ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑥 = ∅ → 𝐴 ∈ ω))
18733, 33pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ω ∈ On ∧ ω ∈ On)
188 ontr2 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ω ∈ On ∧ ω ∈ On) → ((ω ⊆ 𝐴𝐴 ∈ ω) → ω ∈ ω))
189188expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ω ∈ On ∧ ω ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ ω → ω ∈ ω)))
190187, 142, 189mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ∈ ω → ω ∈ ω))
191 elirr 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ ω ∈ ω
192191pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ω ∈ ω → 1o𝑥)
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ∈ ω → 1o𝑥))
194186, 190, 1933syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑥 = ∅ → 1o𝑥))
195 eloni 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
196 ordsucss 7837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ord 𝑥 → (∅ ∈ 𝑥 → suc ∅ ⊆ 𝑥))
197196imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Ord 𝑥 ∧ ∅ ∈ 𝑥) → suc ∅ ⊆ 𝑥)
19894, 197eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Ord 𝑥 ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 1o𝑥)
199198ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Ord 𝑥 → (∅ ∈ 𝑥 → 1o𝑥))
200106, 195, 1993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (∅ ∈ 𝑥 → 1o𝑥))
201 on0eqel 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
202106, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
203194, 200, 202mpjaod 860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 1o𝑥)
20480a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 1o ∈ On)
20533a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ω ∈ On)
206204, 106, 2053jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (1o ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ω ∈ On))
207 oewordi 8627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1o ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ω ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → (1o𝑥 → (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥)))
208206, 39, 207sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (1o𝑥 → (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥)))
209203, 208mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥))
210163, 209eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ω ⊆ (ω ↑o 𝑥))
211161, 210sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → suc 𝑦 ⊆ (ω ↑o 𝑥))
212 onsuc 7830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → suc 𝑦 ∈ On)
213111, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → suc 𝑦 ∈ On)
214 omwordi 8607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((suc 𝑦 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On) → (suc 𝑦 ⊆ (ω ↑o 𝑥) → ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥))))
215213, 107, 107, 214syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (suc 𝑦 ⊆ (ω ↑o 𝑥) → ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥))))
216211, 215mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((ω ↑o 𝑥) ·o suc 𝑦) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥)))
217157, 216sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) ⊆ ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥)))
218127eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝐴 = (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧))
219 oeoa 8633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) = ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥)))
22033, 106, 106, 219mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) = ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o 𝑥)))
221217, 218, 2203sstr4d 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))
222 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))
22359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝐴 ∈ On)
224 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
225 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥))) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶))
226224, 225anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)))
227 onelon 6410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((ω ↑o 𝐶) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → 𝑥 ∈ On)
22835, 227sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → 𝑥 ∈ On)
229 pm4.24 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ On ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
230228, 229sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On))
231 oacl 8571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On) → (𝑥 +o 𝑥) ∈ On)
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → (𝑥 +o 𝑥) ∈ On)
233 oecl 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ω ∈ On ∧ (𝑥 +o 𝑥) ∈ On) → (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ∈ On)
23433, 232, 233sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ∈ On)
235226, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ∈ On)
23655ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)
237 omwordri 8608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ∈ On ∧ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On) → (𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))))
238223, 235, 236, 237syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))))
239222, 238mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
240226, 230, 2313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝑥 +o 𝑥) ∈ On)
24136ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
242 oeoa 8633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ω ∈ On ∧ (𝑥 +o 𝑥) ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) → (ω ↑o ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
24333, 240, 241, 242mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
244226, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝑥 ∈ On)
245 oaass 8597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) → ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶)) = (𝑥 +o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))))
246244, 244, 241, 245syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶)) = (𝑥 +o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))))
247 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶))
248 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o 𝐶) ⊆ (ω ↑o 𝐶))
249 oaabs2 8685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐶) ⊆ (ω ↑o 𝐶)) → (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
250247, 241, 248, 249syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
251250oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝑥 +o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))) = (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶)))
252246, 251, 2503eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
253252oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o ((𝑥 +o 𝑥) +o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
254243, 253eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
255239, 254sseqtrd 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
256 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = (ω ↑o ∅))
257256, 167eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = ∅ → (ω ↑o 𝑥) = 1o)
258257uneq2d 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = ∅ → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) = (ω ∪ 1o))
25933oneluni 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1o ∈ ω → (ω ∪ 1o) = ω)
26063, 259ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ω ∪ 1o) = ω
261260, 163eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ω ∪ 1o) = (ω ↑o 1o)
262258, 261eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ∅ → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) = (ω ↑o 1o))
263262adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) = (ω ↑o 1o))
264263oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 1o) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
265224ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝐶 ∈ On)
266 oecl 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((ω ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (ω ↑o ∅) ∈ On)
26733, 73, 266mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ω ↑o ∅) ∈ On
268 oecl 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o ∅) ∈ On) → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ On)
26933, 267, 268mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ On
2702692a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ On))
271270, 54jca2 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On → ((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ On ∧ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On)))
272167oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ω ↑o (ω ↑o ∅)) = (ω ↑o 1o)
273272, 163eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ω ↑o (ω ↑o ∅)) = ω
274 ssun1 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ω ⊆ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥))
275273, 274eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥))
276 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥))) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴)
277275, 276sstrid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥))) → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ 𝐴)
278277adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ 𝐴)
27957ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝐴𝐵)
280 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
281279, 280eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → 𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
282278, 281jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ 𝐴𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
283282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ 𝐴𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
284 ontr2 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ On ∧ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On) → (((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ⊆ 𝐴𝐴 ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
285271, 283, 284syl6ci 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On → (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
286 oeord 8624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((∅ ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o 𝐶)))
28773, 65, 286mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐶 ∈ On → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o 𝐶)))
28865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐶 ∈ On → ω ∈ (On ∖ 2o))
289 oeord 8624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((ω ↑o ∅) ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → ((ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o 𝐶) ↔ (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
290267, 35, 288, 289mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐶 ∈ On → ((ω ↑o ∅) ∈ (ω ↑o 𝐶) ↔ (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
291287, 290bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐶 ∈ On → (∅ ∈ 𝐶 ↔ (ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
292291biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ On → ((ω ↑o (ω ↑o ∅)) ∈ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) → ∅ ∈ 𝐶))
293285, 292sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On → ∅ ∈ 𝐶))
294 eloni 6395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ On → Ord 𝐶)
295 ordsucss 7837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Ord 𝐶 → (∅ ∈ 𝐶 → suc ∅ ⊆ 𝐶))
29694sseq1i 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1o𝐶 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐶)
297295, 296imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ord 𝐶 → (∅ ∈ 𝐶 → 1o𝐶))
298294, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐶 ∈ On → (∅ ∈ 𝐶 → 1o𝐶))
299293, 298sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On → 1o𝐶))
300265, 299jcai 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶))
30133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐶 ∈ On → ω ∈ On)
30280a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐶 ∈ On → 1o ∈ On)
303301, 302, 353jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ On → (ω ∈ On ∧ 1o ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On))
304303adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (ω ∈ On ∧ 1o ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On))
305 oeoa 8633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) → (ω ↑o (1o +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 1o) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
306304, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (ω ↑o (1o +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 1o) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
30763a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → 1o ∈ ω)
30835adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
309 oeword 8626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (1o𝐶 ↔ (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝐶)))
31080, 65, 309mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐶 ∈ On → (1o𝐶 ↔ (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝐶)))
311310biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝐶))
312163, 311eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → ω ⊆ (ω ↑o 𝐶))
313 oaabs 8684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1o ∈ ω ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) ∧ ω ⊆ (ω ↑o 𝐶)) → (1o +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
314307, 308, 312, 313syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (1o +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
315314oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → (ω ↑o (1o +o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
316306, 315eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐶 ∈ On ∧ 1o𝐶) → ((ω ↑o 1o) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
317300, 316syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ↑o 1o) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
318264, 317eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ 𝑥 = ∅) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
319244, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (∅ ∈ 𝑥 → suc ∅ ⊆ 𝑥))
320319imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → suc ∅ ⊆ 𝑥)
32194, 320eqsstrid 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 1o𝑥)
322247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶))
323241, 322, 227syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ On)
32465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ω ∈ (On ∖ 2o))
325 oeword 8626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1o ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ ω ∈ (On ∖ 2o)) → (1o𝑥 ↔ (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥)))
32680, 323, 324, 325mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (1o𝑥 ↔ (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥)))
327321, 326mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ↑o 1o) ⊆ (ω ↑o 𝑥))
328163, 327eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ω ⊆ (ω ↑o 𝑥))
329 ssequn1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ω ⊆ (ω ↑o 𝑥) ↔ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) = (ω ↑o 𝑥))
330328, 329sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) = (ω ↑o 𝑥))
331330oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
332241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ↑o 𝐶) ∈ On)
333 oeoa 8633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ω ∈ On ∧ 𝑥 ∈ On ∧ (ω ↑o 𝐶) ∈ On) → (ω ↑o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
33433, 323, 332, 333mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ↑o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))) = ((ω ↑o 𝑥) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
335 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ↑o 𝐶) ⊆ (ω ↑o 𝐶))
336322, 332, 335, 249syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶)) = (ω ↑o 𝐶))
337336oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → (ω ↑o (𝑥 +o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
338331, 334, 3373eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) ∧ ∅ ∈ 𝑥) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
339226, 228, 2013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
340318, 338, 339mpjaodan 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
341276adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴)
34233, 228, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → (ω ↑o 𝑥) ∈ On)
343342, 33jctil 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶)) → (ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On))
344 onun2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ω ∈ On ∧ (ω ↑o 𝑥) ∈ On) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ∈ On)
345226, 343, 3443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ∈ On)
346 omwordri 8608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∈ On) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴 → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))))
347345, 223, 236, 346syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴 → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))))
348341, 347mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) ⊆ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
349340, 348eqsstrrd 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ⊆ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
350255, 349eqssd 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)))
35149ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → ((𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝐴 ·o (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))) = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶))))
352350, 351mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ (𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥)))) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
353352ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → ((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥))) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
354353ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → ((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐶) ∧ (ω ∪ (ω ↑o 𝑥)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ (ω ↑o (𝑥 +o 𝑥))) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
355141, 143, 221, 354mp3and 1463 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
356355ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → ((((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴 → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
35771, 356syl5 34 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) ∧ 𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)) → ((𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
358357rexlimdva 3152 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)) → (∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
359358rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ On) → (∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
360359rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
361360exlimdv 1930 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → (∃𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
36270, 361syl5 34 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → (∃!𝑤𝑥 ∈ On ∃𝑦 ∈ (ω ∖ 1o)∃𝑧 ∈ (ω ↑o 𝑥)(𝑤 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ ∧ (((ω ↑o 𝑥) ·o 𝑦) +o 𝑧) = 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
36369, 362mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) ∧ ω ⊆ 𝐴) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
364 eloni 6395 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
36559, 364syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → Ord 𝐴)
366 ordtri2or 6483 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ω) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
367365, 158, 366sylancl 586 . . . . 5 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → (𝐴 ∈ ω ∨ ω ⊆ 𝐴))
36851, 363, 367mpjaodan 960 . . . 4 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
369368ex 412 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
3706, 30, 3693jaod 1428 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = 2o ∨ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On)) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵))
371370imp 406 1 (((𝐴𝐵 ∧ ∅ ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = 2o ∨ (𝐵 = (ω ↑o (ω ↑o 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ On))) → (𝐴 ·o 𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  ∃!weu 2565  wne 2937  wrex 3067  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632  cotp 4638  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  (class class class)co 7430  ωcom 7886  1oc1o 8497  2oc2o 8498   +o coa 8501   ·o comu 8502  o coe 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510
This theorem is referenced by:  omcl2  43322
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