Theorem oancom 9611

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oancom	⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9603	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2	1	sucid 6419	. . 3 ⊢ ω ∈ suc ω
3		omelon 9606	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
4		1onn 8607	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
5		oaabslem 8614	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω) → (1o +o ω) = ω)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +o ω) = ω
7		oa1suc 8498	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
9	2, 6, 8	3eltr4i 2842	. 2 ⊢ (1o +o ω) ∈ (ω +o 1o)
10		1on 8449	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
11		oacl 8502	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ ω ∈ On) → (1o +o ω) ∈ On)
12	10, 3, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1o +o ω) ∈ On
13		oacl 8502	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (ω +o 1o) ∈ On)
14	3, 10, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) ∈ On
15		onelpss 6375	. . . 4 ⊢ (((1o +o ω) ∈ On ∧ (ω +o 1o) ∈ On) → ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))))
16	12, 14, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)))
17	16	simprbi 496	. 2 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) → (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))
18	9, 17	ax-mp 5	1 ⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  Oncon0 6335  suc csuc 6337  (class class class)co 7390  ωcom 7845  1_oc1o 8430   +_o coa 8434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441

This theorem is referenced by:  oaomoencom  43313