Theorem oancom 9616

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oancom	⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9608	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2	1	sucid 6445	. . 3 ⊢ ω ∈ suc ω
3		omelon 9611	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
4		1onn 8622	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
5		oaabslem 8629	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω) → (1o +o ω) = ω)
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . 3 ⊢ (1o +o ω) = ω
7		oa1suc 8512	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
9	2, 6, 8	3eltr4i 2876	. 2 ⊢ (1o +o ω) ∈ (ω +o 1o)
10		1on 8462	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
11		oacl 8516	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ ω ∈ On) → (1o +o ω) ∈ On)
12	10, 3, 11	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (1o +o ω) ∈ On
13		oacl 8516	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (ω +o 1o) ∈ On)
14	3, 10, 13	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) ∈ On
15		onelpss 6401	. . . 4 ⊢ (((1o +o ω) ∈ On ∧ (ω +o 1o) ∈ On) → ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))))
16	12, 14, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)))
17	16	simprbi 502	. 2 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) → (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))
18	9, 17	ax-mp 5	1 ⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  Oncon0 6360  suc csuc 6362  (class class class)co 7410  ωcom 7858  1_oc1o 8442   +_o coa 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453

This theorem is referenced by:  oaomoencom  44064