Theorem oancom 9541

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oancom	⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9533	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2	1	sucid 6390	. . 3 ⊢ ω ∈ suc ω
3		omelon 9536	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
4		1onn 8555	. . . 4 ⊢ 1o ∈ ω
5		oaabslem 8562	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ ω) → (1o +o ω) = ω)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ (1o +o ω) = ω
7		oa1suc 8446	. . . 4 ⊢ (ω ∈ On → (ω +o 1o) = suc ω)
8	3, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ω +o 1o) = suc ω
9	2, 6, 8	3eltr4i 2844	. 2 ⊢ (1o +o ω) ∈ (ω +o 1o)
10		1on 8397	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
11		oacl 8450	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ ω ∈ On) → (1o +o ω) ∈ On)
12	10, 3, 11	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1o +o ω) ∈ On
13		oacl 8450	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 1o ∈ On) → (ω +o 1o) ∈ On)
14	3, 10, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ω +o 1o) ∈ On
15		onelpss 6346	. . . 4 ⊢ (((1o +o ω) ∈ On ∧ (ω +o 1o) ∈ On) → ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))))
16	12, 14, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) ↔ ((1o +o ω) ⊆ (ω +o 1o) ∧ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)))
17	16	simprbi 496	. 2 ⊢ ((1o +o ω) ∈ (ω +o 1o) → (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o))
18	9, 17	ax-mp 5	1 ⊢ (1o +o ω) ≠ (ω +o 1o)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  Oncon0 6306  suc csuc 6308  (class class class)co 7346  ωcom 7796  1_oc1o 8378   +_o coa 8382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389

This theorem is referenced by:  oaomoencom  43420