Theorem oneptri 43377

Description: The strict, complete (linear) order on the ordinals is complete. Theorem 1.9(iii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oneptri	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem oneptri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epsoon 43373	. . 3 ⊢ E Or On
2		sotrieq 5560	. . 3 ⊢ (( E Or On ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
4		xoror 1519	. . 3 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5		xorcom 1515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
6		df-xor 1513	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
7		xor3 382	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
8	5, 6, 7	3bitrri 298	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵))
9		df-3or 1087	. . 3 ⊢ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
10	4, 8, 9	3imtr4i 292	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
11	3, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ⊻ wxo 1512   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095   E cep 5520   Or wor 5528  Oncon0 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-ord 6316  df-on 6317

This theorem is referenced by: (None)