Theorem oneptri 44353

Description: The strict, complete (linear) order on the ordinals is complete. Theorem 1.9(iii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oneptri	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem oneptri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epsoon 44349	. . 3 ⊢ E Or On
2		sotrieq 5589	. . 3 ⊢ (( E Or On ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
4		xoror 1547	. . 3 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5		xorcom 1543	. . . 4 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
6		df-xor 1541	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
7		xor3 385	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
8	5, 6, 7	3bitrri 301	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵))
9		df-3or 1104	. . 3 ⊢ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
10	4, 8, 9	3imtr4i 295	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
11	3, 10	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ⊻ wxo 1540   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   E cep 5549   Or wor 5557  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by: (None)