Theorem oneptri 43204

Description: The strict, complete (linear) order on the ordinals is complete. Theorem 1.9(iii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oneptri	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem oneptri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epsoon 43200	. . 3 ⊢ E Or On
2		sotrieq 5621	. . 3 ⊢ (( E Or On ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
3	1, 2	mpan 689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
4		xoror 1513	. . 3 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5		xorcom 1509	. . . 4 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
6		df-xor 1507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
7		xor3 382	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
8	5, 6, 7	3bitrri 298	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵))
9		df-3or 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
10	4, 8, 9	3imtr4i 292	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
11	3, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1084   ⊻ wxo 1506   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149   E cep 5581   Or wor 5589  Oncon0 6380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1507  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-ord 6383  df-on 6384

This theorem is referenced by: (None)