Theorem oneptri 43702

Description: The strict, complete (linear) order on the ordinals is complete. Theorem 1.9(iii) of [Schloeder] p. 1. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oneptri	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem oneptri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epsoon 43698	. . 3 ⊢ E Or On
2		sotrieq 5557	. . 3 ⊢ (( E Or On ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
3	1, 2	mpan 696	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
4		xoror 1525	. . 3 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5		xorcom 1521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
6		df-xor 1519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ⊻ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
7		xor3 383	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)))
8	5, 6, 7	3bitrri 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ⊻ 𝐴 = 𝐵))
9		df-3or 1093	. . 3 ⊢ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ ((𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
10	4, 8, 9	3imtr4i 293	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴)) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))
11	3, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 E 𝐵 ∨ 𝐵 E 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   ⊻ wxo 1518   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072   E cep 5517   Or wor 5525  Oncon0 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314

This theorem is referenced by: (None)