Theorem ord3 8410

Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ord3	⊢ Ord 3o

Proof of Theorem ord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8408	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2		eloni 6321	. . 3 ⊢ (2o ∈ On → Ord 2o)
3		ordsuci 7748	. . 3 ⊢ (Ord 2o → Ord suc 2o)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ Ord suc 2o
5		df-3o 8397	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
6		ordeq 6318	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
8	4, 7	mpbir 231	1 ⊢ Ord 3o

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ord word 6310  Oncon0 6311  suc csuc 6313  2_oc2o 8389  3_oc3o 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-1o 8395  df-2o 8396  df-3o 8397

This theorem is referenced by:  en4  9186