Theorem ord3 8420

Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ord3	⊢ Ord 3o

Proof of Theorem ord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8418	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2		eloni 6333	. . 3 ⊢ (2o ∈ On → Ord 2o)
3		ordsuci 7762	. . 3 ⊢ (Ord 2o → Ord suc 2o)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ Ord suc 2o
5		df-3o 8407	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
6		ordeq 6330	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
8	4, 7	mpbir 231	1 ⊢ Ord 3o

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ord word 6322  Oncon0 6323  suc csuc 6325  2_oc2o 8399  3_oc3o 8400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-1o 8405  df-2o 8406  df-3o 8407

This theorem is referenced by:  en4  9192