MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord3 8430
Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ord3 Ord 3o

Proof of Theorem ord3
StepHypRef Expression
1 2on 8427 . . 3 2o ∈ On
2 eloni 6328 . . 3 (2o ∈ On → Ord 2o)
3 ordsuci 7744 . . 3 (Ord 2o → Ord suc 2o)
41, 2, 3mp2b 10 . 2 Ord suc 2o
5 df-3o 8415 . . 3 3o = suc 2o
6 ordeq 6325 . . 3 (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
75, 6ax-mp 5 . 2 (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
84, 7mpbir 230 1 Ord 3o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  2oc2o 8407  3oc3o 8408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-1o 8413  df-2o 8414  df-3o 8415
This theorem is referenced by:  en4  9228
  Copyright terms: Public domain W3C validator