Theorem ord3 8502

Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ord3	⊢ Ord 3o

Proof of Theorem ord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8499	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2		eloni 6367	. . 3 ⊢ (2o ∈ On → Ord 2o)
3		ordsuci 7807	. . 3 ⊢ (Ord 2o → Ord suc 2o)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ Ord suc 2o
5		df-3o 8487	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
6		ordeq 6364	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
8	4, 7	mpbir 231	1 ⊢ Ord 3o

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  2_oc2o 8479  3_oc3o 8480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-1o 8485  df-2o 8486  df-3o 8487

This theorem is referenced by:  en4  9294