Theorem ord3 8409

Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ord3	⊢ Ord 3o

Proof of Theorem ord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8407	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2		eloni 6324	. . 3 ⊢ (2o ∈ On → Ord 2o)
3		ordsuci 7750	. . 3 ⊢ (Ord 2o → Ord suc 2o)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ Ord suc 2o
5		df-3o 8396	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
6		ordeq 6321	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
8	4, 7	mpbir 231	1 ⊢ Ord 3o

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ord word 6313  Oncon0 6314  suc csuc 6316  2_oc2o 8388  3_oc3o 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-1o 8394  df-2o 8395  df-3o 8396

This theorem is referenced by:  en4  9177