Theorem ord3 8449

Description: Ordinal 3 is an ordinal class. (Contributed by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ord3	⊢ Ord 3o

Proof of Theorem ord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8447	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
2		eloni 6342	. . 3 ⊢ (2o ∈ On → Ord 2o)
3		ordsuci 7784	. . 3 ⊢ (Ord 2o → Ord suc 2o)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ Ord suc 2o
5		df-3o 8436	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
6		ordeq 6339	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (Ord 3o ↔ Ord suc 2o))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ord 3o ↔ Ord suc 2o)
8	4, 7	mpbir 231	1 ⊢ Ord 3o

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ord word 6331  Oncon0 6332  suc csuc 6334  2_oc2o 8428  3_oc3o 8429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-1o 8434  df-2o 8435  df-3o 8436

This theorem is referenced by:  en4  9228