Theorem en4 9301

Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en4	⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord3 8497	. 2 ⊢ Ord 3o
2		df-4o 8483	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
3		en3 9300	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4		qdassr 4754	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
5	4	enp1ilem 9296	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
6	5	eximdv 1913	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
7	6	2eximdv 1915	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
8	1, 2, 3, 7	enp1i 9297	1 ⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628   class class class wbr 5142  3_oc3o 8475  4_oc4o 8476   ≈ cen 8954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1o 8480  df-2o 8481  df-3o 8482  df-4o 8483  df-en 8958

This theorem is referenced by: (None)