Theorem en4 9238

Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en4	⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord3 8465	. 2 ⊢ Ord 3o
2		df-4o 8452	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
3		en3 9237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4		qdassr 4720	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
5	4	enp1ilem 9234	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
6	5	eximdv 1947	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
7	6	2eximdv 1949	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
8	1, 2, 3, 7	enp1i 9235	1 ⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  {csn 4589  {cpr 4591  {ctp 4593   class class class wbr 5109  3_oc3o 8444  4_oc4o 8445   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8449  df-2o 8450  df-3o 8451  df-4o 8452  df-en 8940

This theorem is referenced by: (None)