Theorem en4 9177

Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en4	⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord3 8409	. 2 ⊢ Ord 3o
2		df-4o 8397	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
3		en3 9176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4		qdassr 4708	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
5	4	enp1ilem 9173	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
6	5	eximdv 1918	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
7	6	2eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
8	1, 2, 3, 7	enp1i 9174	1 ⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581   class class class wbr 5095  3_oc3o 8389  4_oc4o 8390   ≈ cen 8876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-1o 8394  df-2o 8395  df-3o 8396  df-4o 8397  df-en 8880

This theorem is referenced by: (None)