MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en4 8755
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4 (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 3onn 8265 . 2 3o ∈ ω
2 df-4o 8103 . 2 4o = suc 3o
3 en3 8754 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦𝑧𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4 qdassr 4675 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
54enp1ilem 8751 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
65eximdv 1919 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
762eximdv 1921 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
81, 2, 3, 7enp1i 8752 1 (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  cdif 3916  cun 3917  {csn 4550  {cpr 4552  {ctp 4554   class class class wbr 5053  3oc3o 8095  4oc4o 8096  cen 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-om 7577  df-1o 8100  df-2o 8101  df-3o 8102  df-4o 8103  df-er 8287  df-en 8508  df-fin 8511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator