Theorem en4 9194

Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en4	⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord3 8422	. 2 ⊢ Ord 3o
2		df-4o 8410	. 2 ⊢ 4o = suc 3o
3		en3 9193	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4		qdassr 4713	. . . . 5 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
5	4	enp1ilem 9190	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
6	5	eximdv 1919	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
7	6	2eximdv 1921	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
8	1, 2, 3, 7	enp1i 9191	1 ⊢ (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586   class class class wbr 5100  3_oc3o 8402  4_oc4o 8403   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1o 8407  df-2o 8408  df-3o 8409  df-4o 8410  df-en 8896

This theorem is referenced by: (None)