MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en4 9279
Description: A set equinumerous to ordinal 4 is a quadruple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en4 (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem en4
StepHypRef Expression
1 ord3 8478 . 2 Ord 3o
2 df-4o 8464 . 2 4o = suc 3o
3 en3 9278 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 3o → ∃𝑦𝑧𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤})
4 qdassr 4750 . . . . 5 ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}) = ({𝑥} ∪ {𝑦, 𝑧, 𝑤})
54enp1ilem 9274 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
65eximdv 1912 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
762eximdv 1914 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝑧𝑤(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦, 𝑧, 𝑤} → ∃𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤})))
81, 2, 3, 7enp1i 9275 1 (𝐴 ≈ 4o → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤 𝐴 = ({𝑥, 𝑦} ∪ {𝑧, 𝑤}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  cdif 3937  cun 3938  {csn 4620  {cpr 4622  {ctp 4624   class class class wbr 5138  3oc3o 8456  4oc4o 8457  cen 8932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-1o 8461  df-2o 8462  df-3o 8463  df-4o 8464  df-en 8936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator