Theorem ordsuci 7849

Description: The successor of an ordinal class is an ordinal class. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) Extract and adapt from a subproof of onsuc 7851. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuci	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6397	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 6472	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 6389	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		ordsson 7824	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		elon2 6394	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
7		snssi 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
9		snprc 4678	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10	9	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
11		0ss 4353	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ On
12	10, 11	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ⊆ On)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
14	8, 13	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → {𝐴} ⊆ On)
15	5, 14	unssd 4193	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
16	4, 15	eqsstrid 3951	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → suc 𝐴 ⊆ On)
17		ordon 7818	. . 3 ⊢ Ord On
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord On)
19		trssord 6400	. 2 ⊢ ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
20	3, 16, 18, 19	syl3anc 1399	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  Tr wtr 5216  Ord word 6382  Oncon0 6383  suc csuc 6385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389

This theorem is used by:  sucexeloni  7850  ordsuc  7852  ord3  8523  ordeldifsucon  44464  ordeldif1o  44465  ordnexbtwnsuc  44472  ordsssucb  44540  onsucunifi  44575