Theorem ordsuci 7816

Description: The successor of an ordinal class is an ordinal class. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) Extract and adapt from a subproof of onsuc 7818. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuci	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6381	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 6456	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 6373	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		ordsson 7791	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		elon2 6378	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
7		snssi 4756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
9		snprc 4688	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10	9	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
11		0ss 4360	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ On
12	10, 11	eqsstrdi 3984	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ⊆ On)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
14	8, 13	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → {𝐴} ⊆ On)
15	5, 14	unssd 4148	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
16	4, 15	eqsstrid 3978	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → suc 𝐴 ⊆ On)
17		ordon 7785	. . 3 ⊢ Ord On
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord On)
19		trssord 6384	. 2 ⊢ ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
20	3, 16, 18, 19	syl3anc 1398	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594  Tr wtr 5223  Ord word 6366  Oncon0 6367  suc csuc 6369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-tr 5224  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373

This theorem is used by:  sucexeloni  7817  ordsuc  7819  ord3  8478  ordeldifsucon  44027  ordeldif1o  44028  ordnexbtwnsuc  44035  ordsssucb  44103  onsucunifi  44138