Theorem ordsuci 7741

Description: The successor of an ordinal class is an ordinal class. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) Extract and adapt from a subproof of onsuc 7743. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuci	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6320	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 6394	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 6312	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		ordsson 7716	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		elon2 6317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
7		snssi 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
8	6, 7	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
9		snprc 4670	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10	9	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
11		0ss 4350	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ On
12	10, 11	eqsstrdi 3979	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ⊆ On)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
14	8, 13	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → {𝐴} ⊆ On)
15	5, 14	unssd 4142	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
16	4, 15	eqsstrid 3973	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → suc 𝐴 ⊆ On)
17		ordon 7710	. . 3 ⊢ Ord On
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord On)
19		trssord 6323	. 2 ⊢ ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
20	3, 16, 18, 19	syl3anc 1373	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  Tr wtr 5198  Ord word 6305  Oncon0 6306  suc csuc 6308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312

This theorem is referenced by:  sucexeloni  7742  ordsuc  7744  ord3  8400  ordeldifsucon  43298  ordeldif1o  43299  ordnexbtwnsuc  43306  ordsssucb  43374  onsucunifi  43409