Theorem ordsuci 7748

Description: The successor of an ordinal class is an ordinal class. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) Extract and adapt from a subproof of onsuc 7751. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuci	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6325	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 6399	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 6317	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		ordsson 7723	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		elon2 6322	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
7		snssi 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
8	6, 7	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
9		snprc 4671	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10	9	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
11		0ss 4353	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ On
12	10, 11	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ⊆ On)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
14	8, 13	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → {𝐴} ⊆ On)
15	5, 14	unssd 4145	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
16	4, 15	eqsstrid 3976	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → suc 𝐴 ⊆ On)
17		ordon 7717	. . 3 ⊢ Ord On
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord On)
19		trssord 6328	. 2 ⊢ ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
20	3, 16, 18, 19	syl3anc 1373	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  Tr wtr 5202  Ord word 6310  Oncon0 6311  suc csuc 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317

This theorem is referenced by:  sucexeloni  7749  ordsuc  7752  ord3  8410  ordeldifsucon  43232  ordeldif1o  43233  ordnexbtwnsuc  43240  ordsssucb  43308  onsucunifi  43343