Theorem ordsuci 7811

Description: The successor of an ordinal class is an ordinal class. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) Extract and adapt from a subproof of onsuc 7813. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.) (Proof shortened by BJ, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuci	⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6375	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		suctr 6450	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr suc 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr suc 𝐴)
4		df-suc 6367	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		ordsson 7786	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 ⊆ On)
6		elon2 6372	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V))
7		snssi 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
8	6, 7	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
9		snprc 4681	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10	9	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
11		0ss 4353	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ On
12	10, 11	eqsstrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} ⊆ On)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ⊆ On)
14	8, 13	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → {𝐴} ⊆ On)
15	5, 14	unssd 4141	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
16	4, 15	eqsstrid 3972	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → suc 𝐴 ⊆ On)
17		ordon 7780	. . 3 ⊢ Ord On
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord On)
19		trssord 6378	. 2 ⊢ ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
20	3, 16, 18, 19	syl3anc 1398	1 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  Tr wtr 5216  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is used by:  sucexeloni  7812  ordsuc  7814  ord3  8475  ordeldifsucon  44108  ordeldif1o  44109  ordnexbtwnsuc  44116  ordsssucb  44184  onsucunifi  44219