Theorem ordeldifsucon 44355

Description: Membership in the difference of ordinal and successor ordinal. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldifsucon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem ordeldifsucon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4049	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
2		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3		ordelord 6384	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	3	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
5		ordelsuc 7832	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐶))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐶))
7		eloni 6372	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		ordsuci 7823	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → Ord suc 𝐵)
9	2, 7, 8	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord suc 𝐵)
10		ordtri1 6396	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
11	9, 4, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
12	6, 11	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
13	12	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))
14	1, 13	bitrid 286	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  Ord word 6361  Oncon0 6362  suc csuc 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368

This theorem is used by:  orddif0suc  44364  cantnfresb  44420