Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldifsucon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldifsucon 41780
Description: Membership in the difference of ordinal and successor ordinal. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldifsucon ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))

Proof of Theorem ordeldifsucon
StepHypRef Expression
1 eldif 3954 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
2 simplr 767 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3 ordelord 6375 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
43adantlr 713 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
5 ordelsuc 7791 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
62, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
7 eloni 6363 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8 ordsuci 7779 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → Ord suc 𝐵)
92, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord suc 𝐵)
10 ordtri1 6386 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
119, 4, 10syl2anc 584 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
126, 11bitr2d 279 . . 3 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵𝐵𝐶))
1312pm5.32da 579 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → ((𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
141, 13bitrid 282 1 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  cdif 3941  wss 3944  Ord word 6352  Oncon0 6353  suc csuc 6355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359
This theorem is referenced by:  orddif0suc  41789  cantnfresb  41845
  Copyright terms: Public domain W3C validator