Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldifsucon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldifsucon 42611
Description: Membership in the difference of ordinal and successor ordinal. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldifsucon ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))

Proof of Theorem ordeldifsucon
StepHypRef Expression
1 eldif 3954 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
2 simplr 768 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3 ordelord 6385 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
43adantlr 714 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
5 ordelsuc 7817 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
62, 4, 5syl2anc 583 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
7 eloni 6373 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8 ordsuci 7805 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → Ord suc 𝐵)
92, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord suc 𝐵)
10 ordtri1 6396 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
119, 4, 10syl2anc 583 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
126, 11bitr2d 280 . . 3 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵𝐵𝐶))
1312pm5.32da 578 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → ((𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
141, 13bitrid 283 1 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  cdif 3941  wss 3944  Ord word 6362  Oncon0 6363  suc csuc 6365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369
This theorem is referenced by:  orddif0suc  42620  cantnfresb  42676
  Copyright terms: Public domain W3C validator