Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldifsucon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldifsucon 43248
Description: Membership in the difference of ordinal and successor ordinal. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldifsucon ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))

Proof of Theorem ordeldifsucon
StepHypRef Expression
1 eldif 3972 . 2 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
2 simplr 769 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3 ordelord 6407 . . . . . 6 ((Ord 𝐴𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
43adantlr 715 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord 𝐶)
5 ordelsuc 7839 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
62, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ suc 𝐵𝐶))
7 eloni 6395 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8 ordsuci 7827 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → Ord suc 𝐵)
92, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → Ord suc 𝐵)
10 ordtri1 6418 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
119, 4, 10syl2anc 584 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (suc 𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
126, 11bitr2d 280 . . 3 (((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵𝐵𝐶))
1312pm5.32da 579 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → ((𝐶𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
141, 13bitrid 283 1 ((Ord 𝐴𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶𝐴𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  cdif 3959  wss 3962  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391
This theorem is referenced by:  orddif0suc  43257  cantnfresb  43313
  Copyright terms: Public domain W3C validator