Theorem ordeldifsucon 44108

Description: Membership in the difference of ordinal and successor ordinal. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldifsucon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem ordeldifsucon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3912	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
2		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3		ordelord 6383	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	3	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
5		ordelsuc 7820	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐶))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐶 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐶))
7		eloni 6371	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		ordsuci 7811	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐵 → Ord suc 𝐵)
9	2, 7, 8	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord suc 𝐵)
10		ordtri1 6395	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
11	9, 4, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵))
12	6, 11	bitr2d 283	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ∈ 𝐶))
13	12	pm5.32da 590	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))
14	1, 13	bitrid 286	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ suc 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is used by:  orddif0suc  44117  cantnfresb  44173