Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cantnfresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnfresb 42377
Description: A Cantor normal form which sums to less than a certain power has only zeros for larger components. (Contributed by RP, 3-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
cantnfresb (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐น

Proof of Theorem cantnfresb
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 dom (๐ด CNF ๐ต) = dom (๐ด CNF ๐ต)
2 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
5 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} = {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))}
61, 3, 4, 5cantnf 9692 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) Isom {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))}, E (dom (๐ด CNF ๐ต), (๐ด โ†‘o ๐ต)))
76adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ (๐ด CNF ๐ต) Isom {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))}, E (dom (๐ด CNF ๐ต), (๐ด โ†‘o ๐ต)))
8 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
9 ondif2 8506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†” (๐ด โˆˆ On โˆง 1o โˆˆ ๐ด))
109simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
11 dif20el 8509 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
1210, 11ifcld 4574 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…) โˆˆ ๐ด)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…) โˆˆ ๐ด)
1413fmpttd 7116 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)):๐ตโŸถ๐ด)
1511adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
16 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
174, 15, 16sniffsupp 9399 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) finSupp โˆ…)
181, 3, 4cantnfs 9665 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โ†” ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)):๐ตโŸถ๐ด โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) finSupp โˆ…)))
1914, 17, 18mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
21 isorel 7326 . . . . . . . . 9 (((๐ด CNF ๐ต) Isom {โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))}, E (dom (๐ด CNF ๐ต), (๐ด โ†‘o ๐ต)) โˆง (๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
227, 8, 20, 21syl12anc 834 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
2322adantrl 713 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
2423adantr 480 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
25 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โˆˆ V)
26 epelg 5581 . . . . . . 7 (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โˆˆ V โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) E ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)))))
282ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
29 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
30 fconst6g 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด)
334, 15fczfsuppd 9385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)
341, 3, 4cantnfs 9665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โ†” ((๐ต ร— {โˆ…}):๐ตโŸถ๐ด โˆง (๐ต ร— {โˆ…}) finSupp โˆ…)))
3532, 33, 34mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต ร— {โˆ…}) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
3810ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1o โˆˆ ๐ด)
39 fczsupp0 8182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) = โˆ…
40 0ss 4396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โˆ… โІ ๐ถ
4139, 40eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) โІ ๐ถ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…}) supp โˆ…) โІ ๐ถ)
43 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โˆ… โˆˆ V
4443fvconst2 7207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜๐‘ฆ) = โˆ…)
4544ifeq2d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜๐‘ฆ)) = if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
4645mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
4746eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, ((๐ต ร— {โˆ…})โ€˜๐‘ฆ)))
481, 28, 29, 36, 37, 38, 42, 47cantnfp1 9680 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โˆง ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) = (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})))))
4948simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) = (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…}))))
5049adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) = (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…}))))
51 oecl 8541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
523, 51sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On)
53 om1 8546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
551, 3, 4, 15cantnf0 9674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…})) = โˆ…)
5754, 56oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…}))) = ((๐ด โ†‘o ๐ถ) +o โˆ…))
58 oa0 8520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โ†‘o ๐ถ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) +o โˆ…) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
5952, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ถ) +o โˆ…) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
6057, 59eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…}))) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
6160adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ถ) ยทo 1o) +o ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐ต ร— {โˆ…}))) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
6250, 61eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
6362eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ)))
6463exp32 420 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ)))))
6564adantrd 491 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ)))))
6665imp31 417 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜(๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))) โ†” ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ)))
6724, 27, 663bitrrd 306 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†” ๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))))
68 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘))
6968eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐น โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘)))
70 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
7170eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐น โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))
7271imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ž = ๐น โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))))
7372ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))))
7469, 73anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))
7574rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐น โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))))
76 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘))
7776eleq2d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)))
78 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))
7978eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))
8079imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))))
8180ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))))
8277, 81anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))) โ†” ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))))
8382rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))))
8475, 83, 5bropabg 42376 . . . . . . 7 (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†” ((๐น โˆˆ V โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ V) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))))
85 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐ถ))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐ถ))
87 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฆ = ๐ถ โ†” ๐‘ = ๐ถ))
8887ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…) = if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
89 1oex 8480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o โˆˆ V
9089, 43ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…) โˆˆ V
9188, 16, 90fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) = if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
92 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = ๐ถ โ†’ if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…) = 1o)
9391, 92sylan9eqr 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) = 1o)
9486, 93eleq12d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐ถ) โˆˆ 1o))
95 el1o 8499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐นโ€˜๐ถ) โˆˆ 1o โ†” (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐ถ) โˆˆ 1o โ†” (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
9796biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐ถ) โˆˆ 1o โ†’ (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
98 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
9997, 98jctild 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐ถ) โˆˆ 1o โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
10094, 99sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
101100expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
10291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) = if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
103 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โ‰  ๐ถ)
104103neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐‘ = ๐ถ)
105104iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ = ๐ถ, 1o, โˆ…) = โˆ…)
106102, 105eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) = โˆ…)
107106eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โ†” (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โˆ…))
108107biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โ‰  ๐ถ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โˆ…))
109108expimpd 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โ‰  ๐ถ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โˆ…))
110 noel 4330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยฌ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โˆ…
111110pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โˆ… โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
112109, 111syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โ‰  ๐ถ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
113101, 112pm2.61ine 3024 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
115 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
116115ralsng 4677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…))
117116anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ = ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†” (๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…)))
118117biimprd 247 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ = ๐ถ โˆง (๐นโ€˜๐ถ) = โˆ…) โ†’ (๐‘ = ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
1204anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On))
122 pm3.31 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))))
124 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ))
125 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
126125eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
127 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
129 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
130128, 129sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
131 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
132 ontri1 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ โІ ๐ถ โ†” ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
133130, 131, 132syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โІ ๐ถ โ†” ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
134133con2bid 354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ยฌ ๐‘ฅ โІ ๐ถ))
135 onsssuc 6454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ โІ ๐ถ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ))
136130, 131, 135syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โІ ๐ถ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ))
137136notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โІ ๐ถ โ†” ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ))
138126, 134, 1373bitrrd 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ))
139138pm5.32da 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ suc ๐ถ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ)))
140124, 139bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ)))
141140biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ)))
142141imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))))
143 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
145 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ = ๐ถ โ†” ๐‘ฅ = ๐ถ))
146145ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…) = if(๐‘ฅ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
14789, 43ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 if(๐‘ฅ = ๐ถ, 1o, โˆ…) โˆˆ V
148146, 16, 147fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) = if(๐‘ฅ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
149144, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) = if(๐‘ฅ = ๐ถ, 1o, โˆ…))
150128, 143, 129syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
151 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ Ord ๐‘ฅ)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ Ord ๐‘ฅ)
153 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
154153ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ Ord ๐ต)
155 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
156 ordeldifsucon 42312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Ord ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ)))
157154, 155, 156syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ)))
158157biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
159 ordirr 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Ord ๐‘ฅ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฅ)
160 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
161160notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
162159, 161syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Ord ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ))
163162con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (Ord ๐‘ฅ โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = ๐ถ))
164163adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ord ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = ๐ถ))
165152, 158, 164sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ยฌ ๐‘ฅ = ๐ถ)
166165iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐ถ, 1o, โˆ…) = โˆ…)
167149, 166eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
168167eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
169168biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
170169ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
171170a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
172123, 142, 1713syld 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
173172ralimdv2 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
174121, 173sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
175174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
176 ralun 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ))(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
177176adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ))(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
178 undif3 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) = (({๐ถ} โˆช ๐ต) โˆ– (suc ๐ถ โˆ– {๐ถ}))
179 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
180179snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ {๐ถ} โІ ๐ต)
181 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({๐ถ} โІ ๐ต โ†” ({๐ถ} โˆช ๐ต) = ๐ต)
182180, 181sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐ถ} โˆช ๐ต) = ๐ต)
183 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
184 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
185 orddif 6460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord ๐ถ โ†’ ๐ถ = (suc ๐ถ โˆ– {๐ถ}))
186183, 184, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ = (suc ๐ถ โˆ– {๐ถ}))
187186eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (suc ๐ถ โˆ– {๐ถ}) = ๐ถ)
188182, 187difeq12d 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (({๐ถ} โˆช ๐ต) โˆ– (suc ๐ถ โˆ– {๐ถ})) = (๐ต โˆ– ๐ถ))
189178, 188eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) = (๐ต โˆ– ๐ถ))
190189adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) = (๐ต โˆ– ๐ถ))
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ)) = (๐ต โˆ– ๐ถ))
192191raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ))(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
193192ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ({๐ถ} โˆช (๐ต โˆ– suc ๐ถ))(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
194177, 193mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
195194ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– suc ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
196175, 195syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = ๐ถ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
197196expl 457 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ = ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {๐ถ} (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
198114, 119, 1973syld 60 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
199198expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
200199impd 410 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
201200rexlimdva 3154 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
202201adantld 490 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐น โˆˆ V โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โˆˆ V) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…))โ€˜๐‘ฅ)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
20384, 202biimtrid 241 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
204203adantlrr 718 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐น{โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ต ((๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘โ€˜๐‘ฅ)))} (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐ถ, 1o, โˆ…)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
20567, 204sylbid 239 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
206205ex 412 . . 3 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
207 ral0 4512 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…
208 ssdif0 4363 . . . . . . 7 (๐ต โІ ๐ถ โ†” (๐ต โˆ– ๐ถ) = โˆ…)
209208biimpi 215 . . . . . 6 (๐ต โІ ๐ถ โ†’ (๐ต โˆ– ๐ถ) = โˆ…)
210209raleqdv 3324 . . . . 5 (๐ต โІ ๐ถ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โˆ… (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
211207, 210mpbiri 258 . . . 4 (๐ต โІ ๐ถ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)
212211a1i13 27 . . 3 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐ต โІ ๐ถ โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…)))
213184adantr 480 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ Ord ๐ถ)
214153adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord ๐ต)
215 ordtri2or 6462 . . . 4 ((Ord ๐ถ โˆง Ord ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ต โІ ๐ถ))
216213, 214, 215syl2anr 596 . . 3 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ต โˆจ ๐ต โІ ๐ถ))
217206, 212, 216mpjaod 857 . 2 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
2183ad2antrr 723 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
219 simpllr 773 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
220 simplrr 775 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))
22115ad2antrr 723 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
222 simplrl 774 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
2231, 3, 4cantnfs 9665 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โ†” (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
224223biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต) โ†’ (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
225224adantld 490 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต)) โ†’ (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…)))
226225imp 406 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (๐น:๐ตโŸถ๐ด โˆง ๐น finSupp โˆ…))
227226simpld 494 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ด)
228227adantr 480 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ด)
229 fveqeq2 6900 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†” (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โˆ…))
230229rspccv 3609 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โˆ…))
231230adantl 481 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โˆ…))
232231imp 406 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = โˆ…)
233228, 232suppss 8183 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ (๐น supp โˆ…) โІ ๐ถ)
2341, 218, 219, 220, 221, 222, 233cantnflt2 9672 . . 3 ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…) โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ))
235234ex 412 . 2 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ… โ†’ ((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ)))
236217, 235impbid 211 1 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 2o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง ๐น โˆˆ dom (๐ด CNF ๐ต))) โ†’ (((๐ด CNF ๐ต)โ€˜๐น) โˆˆ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โˆ– ๐ถ)(๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โІ wss 3948  โˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  {copab 5210   โ†ฆ cmpt 5231   E cep 5579   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412   supp csupp 8150  1oc1o 8463  2oc2o 8464   +o coa 8467   ยทo comu 8468   โ†‘o coe 8469   finSupp cfsupp 9365   CNF ccnf 9660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-seqom 8452  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-oexp 8476  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-cnf 9661
This theorem is referenced by:  cantnf2  42378
  Copyright terms: Public domain W3C validator