Theorem ordeldif 43247

Description: Membership in the difference of ordinals. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem ordeldif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3972	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → Ord 𝐵)
3		ordelord 6407	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	3	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
5		ordtri1 6418	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
7	6	bicomd 223	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
8	7	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
9	1, 8	bitrid 283	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962  Ord word 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388

This theorem is referenced by:  tfsconcatlem  43325  tfsconcatfv2  43329  tfsconcatrn  43331  tfsconcatb0  43333  tfsconcatrev  43337