Theorem ordeldif 42581

Description: Membership in the difference of ordinals. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem ordeldif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3953	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → Ord 𝐵)
3		ordelord 6380	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	3	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
5		ordtri1 6391	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2an2r 682	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
7	6	bicomd 222	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
8	7	pm5.32da 578	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
9	1, 8	bitrid 283	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  Ord word 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6361

This theorem is referenced by:  tfsconcatlem  42659  tfsconcatfv2  42663  tfsconcatrn  42665  tfsconcatb0  42667  tfsconcatrev  42671