Theorem ordeldif 43248

Description: Membership in the difference of ordinals. (Contributed by RP, 15-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem ordeldif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3941	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → Ord 𝐵)
3		ordelord 6385	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
4	3	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
5		ordtri1 6396	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵))
7	6	bicomd 223	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
8	7	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
9	1, 8	bitrid 283	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  Ord word 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-ord 6366

This theorem is referenced by:  tfsconcatlem  43326  tfsconcatfv2  43330  tfsconcatrn  43332  tfsconcatb0  43334  tfsconcatrev  43338