Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrval 42167
Description: Value of the set of first-quadrant Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrval (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Distinct variable group:   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐ท

Proof of Theorem pell1qrval
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
21oveq1d 7420 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))
32oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)))
43eqeq2d 2737 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))))
5 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2)))
65oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))))
76eqeq1d 2728 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1))
84, 7anbi12d 630 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
982rexbidv 3213 . . 3 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
109rabbidv 3434 . 2 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
11 df-pell1qr 42163 . 2 Pell1QR = (๐‘Ž โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
12 reex 11203 . . 3 โ„ โˆˆ V
1312rabex 5325 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} โˆˆ V
1410, 11, 13fvmpt 6992 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  {crab 3426   โˆ– cdif 3940  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15186  โ—ปNNcsquarenn 42157  Pell1QRcpell1qr 42158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-pell1qr 42163
This theorem is referenced by:  elpell1qr  42168
  Copyright terms: Public domain W3C validator