Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pell1qrval 42330
Description: Value of the set of first-quadrant Pell solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrval (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Distinct variable group:   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐ท

Proof of Theorem pell1qrval
Dummy variable ๐‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
21oveq1d 7430 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))
32oveq2d 7431 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)))
43eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค))))
5 oveq1 7422 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2)) = (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2)))
65oveq2d 7431 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))))
76eqeq1d 2727 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1 โ†” ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1))
84, 7anbi12d 630 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
982rexbidv 3210 . . 3 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)))
109rabbidv 3427 . 2 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
11 df-pell1qr 42326 . 2 Pell1QR = (๐‘Ž โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†ฆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐‘Ž) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐‘Ž ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
12 reex 11227 . . 3 โ„ โˆˆ V
1312rabex 5329 . 2 {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)} โˆˆ V
1410, 11, 13fvmpt 6999 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (Pell1QRโ€˜๐ท) = {๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆฃ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ = (๐‘ง + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘ค)) โˆง ((๐‘งโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘คโ†‘2))) = 1)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060  {crab 3419   โˆ– cdif 3937  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ†‘cexp 14056  โˆšcsqrt 15210  โ—ปNNcsquarenn 42320  Pell1QRcpell1qr 42321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7418  df-pell1qr 42326
This theorem is referenced by:  elpell1qr  42331
  Copyright terms: Public domain W3C validator