Theorem ppival 26631

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4212	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4		df-ppi 26604	. 2 ⊢ π = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)))
5		fvex 6905	. 2 ⊢ (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  [,]cicc 13327  ♯chash 14290  ℙcprime 16608  πcppi 26598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-ppi 26604

This theorem is referenced by:  ppival2  26632  ppival2g  26633  ppifl  26664  ppiwordi  26666  chtleppi  26713