Theorem ppival 27192

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7405	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4172	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	fveq2d 6872	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4		df-ppi 27165	. 2 ⊢ π = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)))
5		fvex 6881	. 2 ⊢ (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6976	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℝcr 11073  0cc0 11074  [,]cicc 13353  ♯chash 14344  ℙcprime 16706  πcppi 27159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fv 6530  df-ov 7400  df-ppi 27165

This theorem is referenced by:  ppival2  27193  ppival2g  27194  ppifl  27225  ppiwordi  27227  chtleppi  27275