Theorem ppival 27070

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4178	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4		df-ppi 27043	. 2 ⊢ π = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)))
5		fvex 6853	. 2 ⊢ (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6950	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  [,]cicc 13285  ♯chash 14271  ℙcprime 16617  πcppi 27037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-ppi 27043

This theorem is referenced by:  ppival2  27071  ppival2g  27072  ppifl  27103  ppiwordi  27105  chtleppi  27154