Theorem ppival 27037

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4182	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4		df-ppi 27010	. 2 ⊢ π = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)))
5		fvex 6871	. 2 ⊢ (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6968	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  [,]cicc 13309  ♯chash 14295  ℙcprime 16641  πcppi 27004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-ppi 27010

This theorem is referenced by:  ppival2  27038  ppival2g  27039  ppifl  27070  ppiwordi  27072  chtleppi  27121