Theorem ppival 27064

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0[,]𝑥) = (0[,]𝐴))
2	1	ineq1d 4166	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0[,]𝑥) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	2	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4		df-ppi 27037	. 2 ⊢ π = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (♯‘((0[,]𝑥) ∩ ℙ)))
5		fvex 6835	. 2 ⊢ (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6929	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  [,]cicc 13248  ♯chash 14237  ℙcprime 16582  πcppi 27031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-ppi 27037

This theorem is referenced by:  ppival2  27065  ppival2g  27066  ppifl  27097  ppiwordi  27099  chtleppi  27148