Theorem chtleppi 27411

Description: Upper bound on the θ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtleppi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) ≤ ((π‘𝐴) · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem chtleppi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ppifi 27307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
5	4	elin2d 4161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
6		prmnn 16757	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13076	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
9	8	relogcld 26825	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
10		relogcl 26777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
12	4	elin1d 4160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
13		0re 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		elicc2 13456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
15	13, 1, 14	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝐴)))
16	15	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝐴))
17	12, 16	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝐴))
18	17	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ≤ 𝐴)
19	8	reeflogd 26826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
20		reeflog 26782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
22	18, 19, 21	3brtr4d 5148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
23		efle 16199	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → ((log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
24	9, 11, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
25	22, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴))
26	3, 9, 11, 25	fsumle 15877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
27		chtval 27311	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
28	1, 27	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
29		ppival 27328	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
30	1, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
31	30	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((π‘𝐴) · (log‘𝐴)) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
32	10	recnd 11255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
33		fsumconst 15867	. . . 4 ⊢ ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
34	3, 32, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
35	31, 34	eqtr4d 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((π‘𝐴) · (log‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
36	26, 28, 35	3brtr4d 5148	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) ≤ ((π‘𝐴) · (log‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  ℝ⁺crp 13034  [,]cicc 13393  ♯chash 14386  Σcsu 15763  expce 16140  ℙcprime 16754  logclog 26756  θccht 27292  πcppi 27295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-prm 16755  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cht 27298  df-ppi 27301

This theorem is used by:  chtppilim  27676