MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtleppi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtleppi 25468
Description: Upper bound on the θ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtleppi (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) ≤ ((π𝐴) · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem chtleppi
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 12247 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 ppifi 25365 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
54elin2d 4097 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
6 prmnn 15847 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
87nnrpd 12279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
98relogcld 24887 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
10 relogcl 24840 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
124elin1d 4096 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
13 0re 10489 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
14 elicc2 12651 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
1513, 1, 14sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
1615biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴))
1712, 16syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴))
1817simp3d 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑝𝐴)
198reeflogd 24888 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
20 reeflog 24845 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2218, 19, 213brtr4d 4994 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴)))
23 efle 15304 . . . . 5 (((log‘𝑝) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → ((log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
249, 11, 23syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → ((log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴) ↔ (exp‘(log‘𝑝)) ≤ (exp‘(log‘𝐴))))
2522, 24mpbird 258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (log‘𝑝) ≤ (log‘𝐴))
263, 9, 11, 25fsumle 14987 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝) ≤ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
27 chtval 25369 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
281, 27syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
29 ppival 25386 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
301, 29syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (π𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
3130oveq1d 7031 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((π𝐴) · (log‘𝐴)) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
3210recnd 10515 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
33 fsumconst 14978 . . . 4 ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
343, 32, 33syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴) = ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) · (log‘𝐴)))
3531, 34eqtr4d 2834 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((π𝐴) · (log‘𝐴)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝐴))
3626, 28, 353brtr4d 4994 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (θ‘𝐴) ≤ ((π𝐴) · (log‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  cin 3858   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383   · cmul 10388  cle 10522  cn 11486  +crp 12239  [,]cicc 12591  chash 13540  Σcsu 14876  expce 15248  cprime 15844  logclog 24819  θccht 25350  πcppi 25353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-dvds 15441  df-prm 15845  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-cht 25356  df-ppi 25359
This theorem is referenced by:  chtppilim  25733
  Copyright terms: Public domain W3C validator