MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtleppi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtleppi 27171
Description: Upper bound on the ΞΈ function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtleppi (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ≀ ((Ο€β€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))

Proof of Theorem chtleppi
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 13024 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ppifi 27066 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin)
4 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™))
54elin2d 4201 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
6 prmnn 16654 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„•)
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ β„•)
87nnrpd 13056 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
98relogcld 26585 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
10 relogcl 26537 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
124elin1d 4200 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴))
13 0re 11256 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
14 elicc2 13431 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
1513, 1, 14sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴)))
1615biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
1712, 16syldan 589 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝐴))
1817simp3d 1141 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ 𝑝 ≀ 𝐴)
198reeflogd 26586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑝)
20 reeflog 26542 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π΄)) = 𝐴)
2120adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π΄)) = 𝐴)
2218, 19, 213brtr4d 5184 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π΄)))
23 efle 16104 . . . . 5 (((logβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π΄))))
249, 11, 23syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ ((logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄) ↔ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π΄))))
2522, 24mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)) β†’ (logβ€˜π‘) ≀ (logβ€˜π΄))
263, 9, 11, 25fsumle 15787 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘) ≀ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
27 chtval 27070 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
281, 27syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π‘))
29 ppival 27087 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π΄) = (β™―β€˜((0[,]𝐴) ∩ β„™)))
301, 29syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (Ο€β€˜π΄) = (β™―β€˜((0[,]𝐴) ∩ β„™)))
3130oveq1d 7441 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((Ο€β€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) = ((β™―β€˜((0[,]𝐴) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
3210recnd 11282 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
33 fsumconst 15778 . . . 4 ((((0[,]𝐴) ∩ β„™) ∈ Fin ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,]𝐴) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
343, 32, 33syl2anc 582 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π΄) = ((β™―β€˜((0[,]𝐴) ∩ β„™)) Β· (logβ€˜π΄)))
3531, 34eqtr4d 2771 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((Ο€β€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ β„™)(logβ€˜π΄))
3626, 28, 353brtr4d 5184 1 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (ΞΈβ€˜π΄) ≀ ((Ο€β€˜π΄) Β· (logβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148   Β· cmul 11153   ≀ cle 11289  β„•cn 12252  β„+crp 13016  [,]cicc 13369  β™―chash 14331  Ξ£csu 15674  expce 16047  β„™cprime 16651  logclog 26516  ΞΈccht 27051  Ο€cppi 27054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-prm 16652  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-cht 27057  df-ppi 27060
This theorem is referenced by:  chtppilim  27436
  Copyright terms: Public domain W3C validator