Theorem ppiwordi 27401

Description: The prime-counting function π is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiwordi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

Proof of Theorem ppiwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ppifi 27345	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4		0red 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
5		0le0 12369	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 0)
7		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		iccss 13470	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
9	4, 1, 6, 7, 8	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
10	9	ssrind 4189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
11		ssdomg 9009	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin → (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
12	3, 10, 11	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
13		ppifi 27345	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
15		hashdom 14446	. . . 4 ⊢ ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
16	14, 3, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
18		ppival 27366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
19	18	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
20		ppival 27366	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (π‘𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
21	1, 20	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
22	17, 19, 21	3brtr4d 5137	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ≼ cdom 8953  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127   ≤ cle 11271  [,]cicc 13404  ♯chash 14397  ℙcprime 16764  πcppi 27333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-prm 16765  df-ppi 27339

This theorem is used by:  ppinncl  27413  ppieq0  27415  ppiub  27443  chebbnd1lem1  27708  chebbnd1lem3  27710