MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiwordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiwordi 27110
Description: The prime-counting function π is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiwordi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (π𝐴) ≤ (π𝐵))

Proof of Theorem ppiwordi
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 ppifi 27054 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4 0red 11245 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℝ)
5 0le0 12341 . . . . . . 7 0 ≤ 0
65a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ 0)
7 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8 iccss 13422 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
94, 1, 6, 7, 8syl22anc 837 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
109ssrind 4228 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
11 ssdomg 9017 . . . 4 (((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin → (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
123, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
13 ppifi 27054 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
15 hashdom 14368 . . . 4 ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
1614, 3, 15syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
1712, 16mpbird 256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
18 ppival 27075 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
19183ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (π𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
20 ppival 27075 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (π𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
211, 20syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (π𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
2217, 19, 213brtr4d 5173 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (π𝐴) ≤ (π𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3938  wss 3939   class class class wbr 5141  cfv 6541  (class class class)co 7414  cdom 8958  Fincfn 8960  cr 11135  0cc0 11136  cle 11277  [,]cicc 13357  chash 14319  cprime 16639  πcppi 27042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-prm 16640  df-ppi 27048
This theorem is referenced by:  ppinncl  27122  ppieq0  27124  ppiub  27153  chebbnd1lem1  27418  chebbnd1lem3  27420
  Copyright terms: Public domain W3C validator