Theorem ppiwordi 25302

Description: The prime-counting function π is weakly increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiwordi	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

Proof of Theorem ppiwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ppifi 25246	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin)
4		0red 10361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
5		0le0 11460	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 0 ≤ 0)
7		simp3 1174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8		iccss 12530	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
9	4, 1, 6, 7, 8	syl22anc 874	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (0[,]𝐴) ⊆ (0[,]𝐵))
10	9	ssrind 4065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
11		ssdomg 8269	. . . 4 ⊢ (((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin → (((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
12	3, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ))
13		ppifi 25246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
14	13	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
15		hashdom 13459	. . . 4 ⊢ ((((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ) ∈ Fin) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
16	14, 3, 15	syl2anc 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)) ↔ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ≼ ((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
17	12, 16	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) ≤ (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
18		ppival 25267	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
19	18	3ad2ant1 1169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
20		ppival 25267	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (π‘𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
21	1, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐵) = (♯‘((0[,]𝐵) ∩ ℙ)))
22	17, 19, 21	3brtr4d 4906	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (π‘𝐴) ≤ (π‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ≼ cdom 8221  Fincfn 8223  ℝcr 10252  0cc0 10253   ≤ cle 10393  [,]cicc 12467  ♯chash 13411  ℙcprime 15758  πcppi 25234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-dvds 15359  df-prm 15759  df-ppi 25240

This theorem is referenced by:  ppinncl  25314  ppieq0  25316  ppiub  25343  chebbnd1lem1  25572  chebbnd1lem3  25574