Theorem ppival2g 27077

Description: Value of the prime-counting function pi. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppival2g	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (π‘𝐴) = (♯‘((𝑀...𝐴) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppival2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ppival 27075	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (π‘𝐴) = (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)))
5		ppisval2 27053	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6	1, 5	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
7		flid 13803	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑀...(⌊‘𝐴)) = (𝑀...𝐴))
9	8	ineq1d 4203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...𝐴) ∩ ℙ))
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((𝑀...𝐴) ∩ ℙ))
11	6, 10	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((𝑀...𝐴) ∩ ℙ))
12	11	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (♯‘((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) = (♯‘((𝑀...𝐴) ∩ ℙ)))
13	4, 12	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (π‘𝐴) = (♯‘((𝑀...𝐴) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℝcr 11135  0cc0 11136  2c2 12295  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  [,]cicc 13357  ...cfz 13514  ⌊cfl 13785  ♯chash 14319  ℙcprime 16639  πcppi 27042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-prm 16640  df-ppi 27048

This theorem is referenced by:  ppidif  27111  chebbnd1lem1  27418