Theorem riiner 8811

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riiner	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpider 8809	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2		riin0 5041	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4		ereq1 8725	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
6	1, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7		iiner 8810	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
8	7	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9		erssxp 8741	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
10	9	ralimi 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11		riinn0 5042	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
13		ereq1 8725	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
15	8, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
16	6, 15	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ∩ ciin 4951   × cxp 5648   Er wer 8714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-er 8717

This theorem is used by: (None)