MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riiner Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riiner 8090
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riiner (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner
StepHypRef Expression
1 xpider 8088 . . 3 (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2 riin0 4816 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
32adantl 475 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4 ereq1 8021 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
61, 5mpbiri 250 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7 iiner 8089 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
87ancoms 452 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9 erssxp 8037 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
109ralimi 3161 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11 riinn0 4817 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
1210, 11sylan 575 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
13 ereq1 8021 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1412, 13syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
158, 14mpbird 249 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
166, 15pm2.61dane 3086 1 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wne 2999  wral 3117  cin 3797  wss 3798  c0 4146   ciin 4743   × cxp 5344   Er wer 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-er 8014
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator