Theorem riiner 8784

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riiner	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpider 8782	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2		riin0 5048	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
3	2	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4		ereq1 8698	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
6	1, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7		iiner 8783	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
8	7	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9		erssxp 8714	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
10	9	ralimi 3102	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11		riinn0 5049	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
12	10, 11	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
13		ereq1 8698	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
15	8, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
16	6, 15	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ ciin 4957   × cxp 5659   Er wer 8687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-er 8690

This theorem is used by: (None)