Theorem riiner 8812

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riiner	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpider 8810	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2		riin0 5042	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4		ereq1 8726	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
6	1, 5	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7		iiner 8811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
8	7	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9		erssxp 8742	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
10	9	ralimi 3100	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11		riinn0 5043	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
13		ereq1 8726	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
15	8, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
16	6, 15	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3914  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952   × cxp 5649   Er wer 8715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-er 8718

This theorem is used by: (None)