MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riiner Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riiner 8357
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riiner (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner
StepHypRef Expression
1 xpider 8355 . . 3 (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2 riin0 4970 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
32adantl 485 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4 ereq1 8283 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
61, 5mpbiri 261 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7 iiner 8356 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
87ancoms 462 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9 erssxp 8299 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
109ralimi 3131 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11 riinn0 4971 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
1210, 11sylan 583 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
13 ereq1 8283 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1412, 13syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
158, 14mpbird 260 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
166, 15pm2.61dane 3077 1 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wne 2990  wral 3109  cin 3883  wss 3884  c0 4246   ciin 4885   × cxp 5521   Er wer 8273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-er 8276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator