MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riiner Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riiner 8815
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riiner (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner
StepHypRef Expression
1 xpider 8813 . . 3 (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2 riin0 5089 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
32adantl 480 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4 ereq1 8738 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
61, 5mpbiri 257 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7 iiner 8814 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
87ancoms 457 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9 erssxp 8754 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
109ralimi 3080 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11 riinn0 5090 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
1210, 11sylan 578 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
13 ereq1 8738 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1412, 13syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
158, 14mpbird 256 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
166, 15pm2.61dane 3026 1 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wne 2937  wral 3058  cin 3948  wss 3949  c0 4326   ciin 5001   × cxp 5680   Er wer 8728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-er 8731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator