MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riiner Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riiner 8829
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riiner (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner
StepHypRef Expression
1 xpider 8827 . . 3 (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2 riin0 5087 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
32adantl 481 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4 ereq1 8751 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
61, 5mpbiri 258 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7 iiner 8828 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
87ancoms 458 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9 erssxp 8767 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
109ralimi 3081 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11 riinn0 5088 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
1210, 11sylan 580 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
13 ereq1 8751 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1412, 13syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
158, 14mpbird 257 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
166, 15pm2.61dane 3027 1 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wne 2938  wral 3059  cin 3962  wss 3963  c0 4339   ciin 4997   × cxp 5687   Er wer 8741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2155  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-er 8744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator