MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  riiner Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riiner 8730
Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
riiner (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner
StepHypRef Expression
1 xpider 8728 . . 3 (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2 riin0 5043 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
32adantl 483 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4 ereq1 8656 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
61, 5mpbiri 258 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7 iiner 8729 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
87ancoms 460 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9 erssxp 8672 . . . . . 6 (𝑅 Er 𝐵𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
109ralimi 3087 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11 riinn0 5044 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
1210, 11sylan 581 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅)
13 ereq1 8656 . . . 4 (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) = 𝑥𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
1412, 13syl 17 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵 𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵))
158, 14mpbird 257 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
166, 15pm2.61dane 3033 1 (∀𝑥𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ 𝑥𝐴 𝑅) Er 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wne 2944  wral 3065  cin 3910  wss 3911  c0 4283   ciin 4956   × cxp 5632   Er wer 8646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-er 8649
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator