Theorem riiner 8780

Description: The relative intersection of a family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riiner	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem riiner

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpider 8778	. . 3 ⊢ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵
2		riin0 5084	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵))
4		ereq1 8706	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = (𝐵 × 𝐵) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ (𝐵 × 𝐵) Er 𝐵))
6	1, 5	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
7		iiner 8779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
8	7	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
9		erssxp 8722	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
10	9	ralimi 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵))
11		riinn0 5085	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
12	10, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
13		ereq1 8706	. . . 4 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵))
15	8, 14	mpbird 256	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)
16	6, 15	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ((𝐵 × 𝐵) ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅) Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∩ ciin 4997   × cxp 5673   Er wer 8696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-er 8699

This theorem is referenced by: (None)