Theorem iiner 8789

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iiner	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem iiner

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.2z 4462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
2		errel 8706	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → Rel 𝑅)
3		df-rel 5670	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (V × V))
5	4	reximi 3105	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
6		iinss 5023	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
7	1, 5, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
8		df-rel 5670	. . 3 ⊢ (Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
10		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 Er 𝐵)
11	10	ersymb 8711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 ↔ 𝑣𝑅𝑢))
12	11	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 → 𝑣𝑅𝑢))
13		df-br 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
14		df-br 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
15	12, 13, 14	3imtr3g 298	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
16	15	ral2imi 3106	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
18		df-br 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
19		opex 5447	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V
20		eliin 4963	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
22	18, 21	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
23		df-br 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
24		opex 5447	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V
25		eliin 4963	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
27	23, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
28	17, 22, 27	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣) → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢)
30		r19.26 3127	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
31	10	ertr 8712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) → 𝑢𝑅𝑤))
32		df-br 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
33	13, 32	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
34		df-br 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
35	31, 33, 34	3imtr3g 298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
36	35	ral2imi 3106	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
37	36	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
38	30, 37	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
39		df-br 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
40		opex 5447	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V
41		eliin 4963	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
43	39, 42	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
44	22, 43	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
45		df-br 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
46		opex 5447	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V
47		eliin 4963	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
49	45, 48	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
50	38, 44, 49	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤))
51	50	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)
52		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑅 Er 𝐵)
53		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐵)
54	52, 53	erref 8717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢𝑅𝑢)
55		df-br 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
57	56	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑅 Er 𝐵 → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
58	57	ralimdv 3181	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
59	58	com12 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
60	59	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
61		r19.26 3127	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
62		r19.2z 4462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
63		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑢 ∈ V
64	63, 63	opeldm 5899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ dom 𝑅)
65		erdm 8707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → dom 𝑅 = 𝐵)
66	65	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑢 ∈ 𝐵))
67	66	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ dom 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
68	64, 67	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
69	68	rexlimivw 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
70	62, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
71	70	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
72	61, 71	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
73	72	expdimp 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ 𝐵))
74	60, 73	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
75		df-br 5112	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
76		opex 5447	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V
77		eliin 4963	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
79	75, 78	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
80	74, 79	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
81	9, 29, 51, 80	iserd 8723	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ⟨cop 4597  ∩ ciin 4959   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  Rel wrel 5668   Er wer 8693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-er 8696

This theorem is used by:  riiner  8790  efger  19811