Theorem iiner 8471

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iiner	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem iiner

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.2z 4406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)
2		errel 8400	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → Rel 𝑅)
3		df-rel 5558	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ (V × V))
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 ⊆ (V × V))
5	4	reximi 3166	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
6		iinss 4965	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
7	1, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
8		df-rel 5558	. . 3 ⊢ (Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ⊆ (V × V))
9	7, 8	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → Rel ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
10		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → 𝑅 Er 𝐵)
11	10	ersymb 8405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 ↔ 𝑣𝑅𝑢))
12	11	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢𝑅𝑣 → 𝑣𝑅𝑢))
13		df-br 5054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
14		df-br 5054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
15	12, 13, 14	3imtr3g 298	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
16	15	ral2imi 3079	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
17	16	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
18		df-br 5054	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
19		opex 5348	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V
20		eliin 4909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
22	18, 21	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅)
23		df-br 5054	. . . . 5 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
24		opex 5348	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V
25		eliin 4909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
27	23, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
28	17, 22, 27	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
29	28	imp 410	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣) → 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢)
30		r19.26 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
31	10	ertr 8406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) → 𝑢𝑅𝑤))
32		df-br 5054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
33	13, 32	anbi12i 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢𝑅𝑣 ∧ 𝑣𝑅𝑤) ↔ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
34		df-br 5054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
35	31, 33, 34	3imtr3g 298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → ((⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
36	35	ral2imi 3079	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
37	36	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
38	30, 37	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
39		df-br 5054	. . . . . 6 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
40		opex 5348	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V
41		eliin 4909	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
43	39, 42	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
44	22, 43	anbi12i 630	. . . 4 ⊢ ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑣, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
45		df-br 5054	. . . . 5 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
46		opex 5348	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V
47		eliin 4909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
49	45, 48	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑤⟩ ∈ 𝑅)
50	38, 44, 49	3imtr4g 299	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ((𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤))
51	50	imp 410	. 2 ⊢ (((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) ∧ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑣 ∧ 𝑣∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)) → 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑤)
52		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑅 Er 𝐵)
53		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐵)
54	52, 53	erref 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → 𝑢𝑅𝑢)
55		df-br 5054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
56	54, 55	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
57	56	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑅 Er 𝐵 → ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
58	57	ralimdv 3101	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
59	58	com12 32	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
60	59	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
61		r19.26 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
62		r19.2z 4406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
63		vex 3412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑢 ∈ V
64	63, 63	opeldm 5776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ dom 𝑅)
65		erdm 8401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → dom 𝑅 = 𝐵)
66	65	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 Er 𝐵 → (𝑢 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑢 ∈ 𝐵))
67	66	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ 𝑢 ∈ dom 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
68	64, 67	sylan2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
69	68	rexlimivw 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵)
70	62, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
71	70	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅 Er 𝐵 ∧ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
72	61, 71	syl5bir 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅) → 𝑢 ∈ 𝐵))
73	72	expdimp 456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅 → 𝑢 ∈ 𝐵))
74	60, 73	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
75		df-br 5054	. . . 4 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅)
76		opex 5348	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V
77		eliin 4909	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ V → (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅))
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
79	75, 78	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⟨𝑢, 𝑢⟩ ∈ 𝑅)
80	74, 79	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → (𝑢 ∈ 𝐵 ↔ 𝑢∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅𝑢))
81	9, 29, 51, 80	iserd 8417	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 Er 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ⟨cop 4547  ∩ ciin 4905   class class class wbr 5053   × cxp 5549  dom cdm 5551  Rel wrel 5556   Er wer 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-er 8391

This theorem is referenced by:  riiner  8472  efger  19108