Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhval 32976
Description: Value of the canonical homormorphism from the real numbers to a complete space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhval.1 ๐ฝ = (topGenโ€˜ran (,))
rrhval.2 ๐พ = (TopOpenโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
rrhval (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ„Homโ€˜๐‘…) = ((๐ฝCnExt๐พ)โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem rrhval
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3493 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
2 rrhval.1 . . . . . . 7 ๐ฝ = (topGenโ€˜ran (,))
32eqcomi 2742 . . . . . 6 (topGenโ€˜ran (,)) = ๐ฝ
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (topGenโ€˜ran (,)) = ๐ฝ)
5 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (TopOpenโ€˜๐‘Ÿ) = (TopOpenโ€˜๐‘…))
6 rrhval.2 . . . . . 6 ๐พ = (TopOpenโ€˜๐‘…)
75, 6eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (TopOpenโ€˜๐‘Ÿ) = ๐พ)
84, 7oveq12d 7427 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((topGenโ€˜ran (,))CnExt(TopOpenโ€˜๐‘Ÿ)) = (๐ฝCnExt๐พ))
9 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โ„šHomโ€˜๐‘Ÿ) = (โ„šHomโ€˜๐‘…))
108, 9fveq12d 6899 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (((topGenโ€˜ran (,))CnExt(TopOpenโ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘Ÿ)) = ((๐ฝCnExt๐พ)โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘…)))
11 df-rrh 32975 . . 3 โ„Hom = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ (((topGenโ€˜ran (,))CnExt(TopOpenโ€˜๐‘Ÿ))โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘Ÿ)))
12 fvex 6905 . . 3 ((๐ฝCnExt๐พ)โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6999 . 2 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โ„Homโ€˜๐‘…) = ((๐ฝCnExt๐พ)โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘…)))
141, 13syl 17 1 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ„Homโ€˜๐‘…) = ((๐ฝCnExt๐พ)โ€˜(โ„šHomโ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  (,)cioo 13324  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  CnExtccnext 23563  โ„šHomcqqh 32952  โ„Homcrrh 32973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-rrh 32975
This theorem is referenced by:  rrhcn  32977  rrhqima  32994  rrhre  33001
  Copyright terms: Public domain W3C validator