Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhre 31384
 Description: The ℝHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rrhre (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Proof of Theorem rrhre
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniretop 23375 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
2 rehaus 23411 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
32a1i 11 . . 3 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Haus)
4 rerrext 31372 . . . 4 fld ∈ ℝExt
5 eqid 2798 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6 retopn 23990 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
75, 6rrhcne 31376 . . . 4 (ℝfld ∈ ℝExt → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
84, 7mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
9 retop 23374 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
101toptopon 21529 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
119, 10mpbi 233 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
12 idcn 21869 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
1413a1i 11 . . 3 (⊤ → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
159a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
16 f1oi 6627 . . . . . . . . . 10 ( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ
17 f1of 6590 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ
19 qssre 12348 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
20 fss 6501 . . . . . . . . 9 ((( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
2118, 19, 20mp2an 691 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
2319a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℚ ⊆ ℝ)
24 qdensere 23382 . . . . . . . 8 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)
269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
27 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)))
28 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑥𝑎)
29 opnneip 21731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
31 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V
32 qex 12350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℚ ∈ V
33 elrestr 16696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V ∧ ℚ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥})) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
3431, 32, 33mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
3530, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
36 inss2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ
37 resiima 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ)
39 inss1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ 𝑎
4038, 39eqsstri 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎)
42 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → (( I ↾ ℚ) “ 𝑏) = (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)))
4342sseq1d 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → ((( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎 ↔ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎))
4443rspcev 3571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∧ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
4535, 41, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
4645ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
4746ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
4847ancli 552 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))
4924eleq2i 2881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
5049biimpri 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51 trnei 22504 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ℚ ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
5211, 19, 51mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
5350, 52mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ))
54 isflf 22605 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) ∧ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5511, 21, 54mp3an13 1449 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
5748, 56mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)))
5857ne0d 4251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
5958adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
60 recusp 23993 . . . . . . . . . 10 fld ∈ CUnifSp
61 cuspusp 22913 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 fld ∈ UnifSp
636uspreg 22887 . . . . . . . . 9 ((ℝfld ∈ UnifSp ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus) → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
6462, 2, 63mp2an 691 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Reg
6564a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
66 resabs1 5848 . . . . . . . . . 10 (ℚ ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
6719, 66ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
681cnrest 21897 . . . . . . . . . 10 ((( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
6913, 19, 68mp2an 691 . . . . . . . . 9 (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
7067, 69eqeltrri 2887 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
7170a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
721, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 59, 65, 71cnextfres1 22680 . . . . . 6 (⊤ → ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
7372mptru 1545 . . . . 5 ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
74 recms 23991 . . . . . . . . 9 fld ∈ CMetSp
7574elexi 3460 . . . . . . . 8 fld ∈ V
765, 6rrhval 31359 . . . . . . . 8 (ℝfld ∈ V → (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)))
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld))
78 qqhre 31383 . . . . . . . 8 (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
7978fveq2i 6648 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
8077, 79eqtri 2821 . . . . . 6 (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
8180reseq1i 5814 . . . . 5 ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ)
8273, 81, 673eqtr4i 2831 . . . 4 ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ)
8382a1i 11 . . 3 (⊤ → ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ))
841, 3, 8, 14, 83, 23, 25hauseqcn 31263 . 2 (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ))
8584mptru 1545 1 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   I cid 5424  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10527  ℚcq 12338  (,)cioo 12728   ↾t crest 16688  topGenctg 16705  ℝfldcrefld 20297  Topctop 21505  TopOnctopon 21522  clsccl 21630  neicnei 21709   Cn ccn 21836  Hauscha 21920  Regcreg 21921  Filcfil 22457   fLimf cflf 22547  CnExtccnext 22671  UnifSpcusp 22867  CUnifSpccusp 22910  CMetSpccms 23943  ℚHomcqqh 31335  ℝHomcrrh 31356   ℝExt crrext 31357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15836  df-numer 16067  df-denom 16068  df-gz 16258  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-toset 17638  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-od 18651  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-nzr 20027  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-metu 20093  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20201  df-zlm 20202  df-chr 20203  df-refld 20298  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-reg 21928  df-cmp 21999  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-fcls 22553  df-cnext 22672  df-ust 22813  df-utop 22844  df-uss 22869  df-usp 22870  df-ucn 22889  df-cfilu 22900  df-cusp 22911  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nrg 23199  df-nlm 23200  df-cncf 23490  df-cfil 23866  df-cmet 23868  df-cms 23946  df-omnd 30757  df-ogrp 30758  df-orng 30928  df-ofld 30929  df-qqh 31336  df-rrh 31358  df-rrext 31362 This theorem is referenced by:  sitmcl  31731
 Copyright terms: Public domain W3C validator