Theorem rrhre 34411

Description: The ℝHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rrhre	⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Proof of Theorem rrhre

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniretop 24919	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
2		rehaus 24956	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Haus)
4		rerrext 34399	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		retopn 25538	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
7	5, 6	rrhcne 34403	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ ℝExt → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
8	4, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
9		retop 24918	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
10	1	toptopon 23074	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
11	9, 10	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
12		idcn 23414	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
15	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
16		f1oi 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ
17		f1of 6820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ
19		qssre 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
20		fss 6722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
23	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℝ)
24		qdensere 24926	. . . . . . . 8 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)
26	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
27		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)))
28		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ 𝑎)
29		opnneip 23276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
31		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V
32		qex 12980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℚ ∈ V
33		elrestr 17476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V ∧ ℚ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥})) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
34	31, 32, 33	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
35	30, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
36		inss2 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ
37		resiima 6078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ)
39		inss1 4189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ 𝑎
40	38, 39	eqsstri 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎)
42		imaeq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → (( I ↾ ℚ) “ 𝑏) = (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)))
43	42	sseq1d 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → ((( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎 ↔ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎))
44	43	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∧ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
45	35, 41, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
46	45	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
47	46	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
48	47	ancli 557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))
49	24	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
50	49	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51		trnei 24049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ℚ ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
52	11, 19, 51	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
53	50, 52	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ))
54		isflf 24150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) ∧ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
55	11, 21, 54	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
56	53, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
57	48, 56	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)))
58	57	ne0d 4295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
59	58	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
60		recusp 25541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
61		cuspusp 24456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ UnifSp
63	6	uspreg 24430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ UnifSp ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus) → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
64	62, 2, 63	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Reg
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
66		resabs1 6005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
67	19, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
68	1	cnrest 23442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
69	13, 19, 68	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
70	67, 69	eqeltrri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
72	1, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 59, 65, 71	cnextfres1 24225	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
73	72	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
74		recms 25539	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ CMetSp
75	74	elexi 3477	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ V
76	5, 6	rrhval 34386	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ V → (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld))
78		qqhre 34410	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
79	78	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
80	77, 79	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
81	80	reseq1i 5974	. . . . 5 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ)
82	73, 81, 67	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ)
83	82	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ))
84	1, 3, 8, 14, 83, 23, 25	hauseqcn 34288	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ))
85	84	mptru 1577	1 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   I cid 5555  ran crn 5662   ↾ cres 5663   “ cima 5664  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  ℚcq 12967  (,)cioo 13367   ↾_t crest 17468  topGenctg 17485  ℝ_fldcrefld 21754  Topctop 23050  TopOnctopon 23067  clsccl 23175  neicnei 23254   Cn ccn 23381  Hauscha 23465  Regcreg 23466  Filcfil 24002   fLimf cflf 24092  CnExtccnext 24216  UnifSpcusp 24411  CUnifSpccusp 24453  CMetSpccms 25491  ℚHomcqqh 34360  ℝHomcrrh 34383   ℝExt crrext 34384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790  df-gz 16985  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-toset 18466  df-ps 18617  df-tsr 18618  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-od 19593  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-omnd 20186  df-ogrp 20187  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-nzr 20610  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-field 20830  df-abv 20912  df-orng 20962  df-ofld 20963  df-lmod 20983  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-metu 21521  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-zrh 21653  df-zlm 21654  df-chr 21655  df-refld 21755  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-reg 23473  df-cmp 23544  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-fcls 24098  df-cnext 24217  df-ust 24358  df-utop 24388  df-uss 24413  df-usp 24414  df-ucn 24432  df-cfilu 24443  df-cusp 24454  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-nrg 24742  df-nlm 24743  df-cncf 25037  df-cfil 25414  df-cmet 25416  df-cms 25494  df-qqh 34361  df-rrh 34385  df-rrext 34389

This theorem is referenced by:  sitmcl  34741