Theorem rrhre 34203

Description: The ℝHom homomorphism for the real numbers structure is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rrhre	⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Proof of Theorem rrhre

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniretop 24721	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
2		rehaus 24758	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Haus)
4		rerrext 34191	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6		retopn 25350	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
7	5, 6	rrhcne 34195	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ ℝExt → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
8	4, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
9		retop 24720	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
10	1	toptopon 22876	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
11	9, 10	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
12		idcn 23216	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,)))
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
15	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
16		f1oi 6820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ
17		f1of 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ ℚ):ℚ–1-1-onto→ℚ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ
19		qssre 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
20		fss 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
21	18, 19, 20	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ)
23	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℚ ⊆ ℝ)
24		qdensere 24728	. . . . . . . 8 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)
26	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
27		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)))
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ 𝑎)
29		opnneip 23078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}))
31		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V
32		qex 12886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℚ ∈ V
33		elrestr 17360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ∈ V ∧ ℚ ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥})) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
34	31, 32, 33	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
35	30, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))
36		inss2 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ
37		resiima 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∩ ℚ) ⊆ ℚ → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) = (𝑎 ∩ ℚ)
39		inss1 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∩ ℚ) ⊆ 𝑎
40	38, 39	eqsstri 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎)
42		imaeq2 6023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → (( I ↾ ℚ) “ 𝑏) = (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)))
43	42	sseq1d 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ ℚ) → ((( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎 ↔ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎))
44	43	rspcev 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∩ ℚ) ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∧ (( I ↾ ℚ) “ (𝑎 ∩ ℚ)) ⊆ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
45	35, 41, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
47	46	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))
48	47	ancli 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎)))
49	24	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ 𝑥 ∈ ℝ)
50	49	biimpri 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ))
51		trnei 23851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ℚ ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
52	11, 19, 51	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) ↔ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ)))
53	50, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ))
54		isflf 23952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) ∧ ( I ↾ ℚ):ℚ⟶ℝ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
55	11, 21, 54	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ) ∈ (Fil‘ℚ) → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ (topGen‘ran (,))(𝑥 ∈ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ)(( I ↾ ℚ) “ 𝑏) ⊆ 𝑎))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)))
58	57	ne0d 4296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((topGen‘ran (,)) fLimf (((nei‘(topGen‘ran (,)))‘{𝑥}) ↾t ℚ))‘( I ↾ ℚ)) ≠ ∅)
60		recusp 25353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
61		cuspusp 24258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ UnifSp
63	6	uspreg 24232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ UnifSp ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus) → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
64	62, 2, 63	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Reg
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (topGen‘ran (,)) ∈ Reg)
66		resabs1 5973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
67	19, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
68	1	cnrest 23244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( I ↾ ℝ) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
69	13, 19, 68	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
70	67, 69	eqeltrri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,)))
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℚ) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℚ) Cn (topGen‘ran (,))))
72	1, 1, 15, 3, 22, 23, 25, 59, 65, 71	cnextfres1 24027	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ))
73	72	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ) = ( I ↾ ℚ)
74		recms 25351	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝfld ∈ CMetSp
75	74	elexi 3465	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld ∈ V
76	5, 6	rrhval 34178	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝfld ∈ V → (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld))
78		qqhre 34202	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℚ)
79	78	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘(ℚHom‘ℝfld)) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
80	77, 79	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = (((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ))
81	80	reseq1i 5942	. . . . 5 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = ((((topGen‘ran (,))CnExt(topGen‘ran (,)))‘( I ↾ ℚ)) ↾ ℚ)
82	73, 81, 67	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ)
83	82	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℝHom‘ℝfld) ↾ ℚ) = (( I ↾ ℝ) ↾ ℚ))
84	1, 3, 8, 14, 83, 23, 25	hauseqcn 34080	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ))
85	84	mptru 1549	1 ⊢ (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   I cid 5526  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  ℚcq 12873  (,)cioo 13273   ↾_t crest 17352  topGenctg 17369  ℝ_fldcrefld 21574  Topctop 22852  TopOnctopon 22869  clsccl 22977  neicnei 23056   Cn ccn 23183  Hauscha 23267  Regcreg 23268  Filcfil 23804   fLimf cflf 23894  CnExtccnext 24018  UnifSpcusp 24213  CUnifSpccusp 24255  CMetSpccms 25303  ℚHomcqqh 34152  ℝHomcrrh 34175   ℝExt crrext 34176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-numer 16674  df-denom 16675  df-gz 16870  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-toset 18350  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-od 19472  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-omnd 20065  df-ogrp 20066  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20461  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-drng 20679  df-field 20680  df-abv 20757  df-orng 20807  df-ofld 20808  df-lmod 20828  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-fbas 21321  df-fg 21322  df-metu 21323  df-cnfld 21325  df-zring 21417  df-zrh 21473  df-zlm 21474  df-chr 21475  df-refld 21575  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cld 22978  df-ntr 22979  df-cls 22980  df-nei 23057  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-haus 23274  df-reg 23275  df-cmp 23346  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-fil 23805  df-fm 23897  df-flim 23898  df-flf 23899  df-fcls 23900  df-cnext 24019  df-ust 24160  df-utop 24190  df-uss 24215  df-usp 24216  df-ucn 24234  df-cfilu 24245  df-cusp 24256  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281  df-nm 24541  df-ngp 24542  df-nrg 24544  df-nlm 24545  df-cncf 24842  df-cfil 25226  df-cmet 25228  df-cms 25306  df-qqh 34153  df-rrh 34177  df-rrext 34181

This theorem is referenced by:  sitmcl  34533