Theorem setsstrset 37501

Description: Relation between df-sets 17132 and df-strset 37500. Temporary theorem kept during the transition from the former to the latter. (Contributed by BJ, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
setsstrset	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩))

Proof of Theorem setsstrset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-strset 37500	. 2 ⊢ [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐴‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩})
2		setsval 17135	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐴‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩}))
3	1, 2	eqtr4id 2794	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888  {csn 4562  ⟨cop 4568   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   sSet csts 17131  ndxcnx 17161  [cstrset 37499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-sets 17132  df-strset 37500

This theorem is referenced by: (None)