Theorem setsstrset 37638

Description: Relation between df-sets 17214 and df-strset 37637. Temporary theorem kept during the transition from the former to the latter. (Contributed by BJ, 13-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
setsstrset	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩))

Proof of Theorem setsstrset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-strset 37637	. 2 ⊢ [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐴‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩})
2		setsval 17217	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐴‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩}))
3	1, 2	eqtr4id 2819	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [𝐵 / 𝐴]struct𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐴‘ndx), 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   sSet csts 17213  ndxcnx 17243  [cstrset 37636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-res 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-sets 17214  df-strset 37637

This theorem is referenced by: (None)