MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsval 16162
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsval ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))

Proof of Theorem setsval
StepHypRef Expression
1 opex 5087 . . 3 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2 setsvalg 16161 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
31, 2mpan2 682 . 2 (𝑆𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4 dmsnopg 5789 . . . . 5 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
54difeq2d 3889 . . . 4 (𝐵𝑊 → (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = (V ∖ {𝐴}))
65reseq2d 5564 . . 3 (𝐵𝑊 → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
76uneq1d 3927 . 2 (𝐵𝑊 → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
83, 7sylan9eq 2818 1 ((𝑆𝑉𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  cdif 3728  cun 3729  {csn 4333  cop 4339  dom cdm 5276  cres 5278  (class class class)co 6841   sSet csts 16129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-res 5288  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fv 6075  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-sets 16138
This theorem is referenced by:  setsidvald  16163  fvsetsid  16164  fsets  16165  setsabs  16175  setscom  16176  setsid  16187  estrresOLD  17045  estrres  17046  setsstrset  33449  setsidel  42012  setsnidel  42013  setsv  42014
  Copyright terms: Public domain W3C validator