Theorem signswlid 34978

Description: The zero-skipping operation keeps nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswlid	⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2	1	signspval 34971	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
5	4	neneqd 2966	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
6	5	iffalsed 4503	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) = 𝑌)
7	3, 6	eqtrd 2801	1 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ifcif 4492  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  0cc0 11118  1c1 11119  -cneg 11460  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428

This theorem is used by:  signsvtn0  34989