signsvtn0 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > signsvtn0		Structured version Visualization version GIF version

Theorem signsvtn0 34864

Description: If the last letter is nonzero, then this is the zero-skipping sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvtn0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signsvtn0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏) 𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem signsvtn0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
2	1	birani 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
3	2	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
4	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
7		lennncl 14547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10		lbfzo0 13705	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12	6, 11	ffvelcdmd 7066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
13		signsv.p	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
14		signsv.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
15		signsv.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
16		signsv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
17	13, 14, 15, 16	signstf0 34862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
18	12, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
19		signsvtn0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
20		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
21	19, 20	eqtr3id 2811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) = 1)
22		eqs1 14626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
23	4, 21, 22	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
24	23	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩))
25		oveq1 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
26		1m1e0 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
28	27	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
29	28	fveq2d 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(𝐹‘0)))
30	29	s1eqd 14615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
31	20, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
32	18, 24, 31	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘𝐹) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩)
33	20, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) = 0)
34	32, 33	fveq12d 6874	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0))
35	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
36	19	oveq1i 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
37		fzo0end 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
38	2, 7, 37	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
39	36, 38	eqeltrid 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
40	35, 39	ffvelcdmd 7066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
41	40	rexrd 11232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^*)
42		sgncl 15110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
44	43	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
45		s1fv 14624	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1} → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
47	34, 46	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
48		fzossfz 13684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
49	48, 38	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
50		pfxres 14693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
51	3, 49, 50	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
52	51	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
53		pfxlswccat 14726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
54	53	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
55	2, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
56	36	oveq2i 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
58	57	reseq2d 5965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
59	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1))
60	59	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
61		lsw 14577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
63	60, 62	eqtr4d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝐹))
64	63	s1eqd 14615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
65	58, 64	oveq12d 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
66	52, 55, 65	3eqtr4d 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
67	66	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
68		ffn 6691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
69	3, 5, 68	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
70	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
71	70	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
72	71	fneq2d 6615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 Fn (0..^𝑁) ↔ 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹))))
73	69, 72	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
74	19, 8	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
75	74	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
76		nn0z 12592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
77		fzossrbm1 13694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
78	75, 76, 77	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
79		fnssres 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^𝑁) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
80	73, 78, 79	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
81		hashfn 14388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
82	80, 81	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
83		nnm1nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
84		hashfzo0 14443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
85	74, 83, 84	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
86	82, 85	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
87	86	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))
88	67, 87	fveq12d 6874	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
89	88	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
90	51, 58	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
91		pfxcl 14691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
92	3, 91	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
93	90, 92	eqeltrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
94	93	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
95	86	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
96	74	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
97	96	nncnd 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
98		1cnd 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
99		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ≠ 1)
100	97, 98, 99	subne0d 11551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
101	95, 100	eqnetrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0)
102		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘∅))
103		hash0 14380	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
104	102, 103	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = 0)
105	104	necon3i 2989	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
106	101, 105	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
107	94, 106	jca 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
108		eldifsn 4746	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
109	107, 108	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
110	40	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
111	13, 14, 15, 16	signstfvn 34863	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
112	109, 110, 111	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
113		lennncl 14547	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ)
114		fzo0end 13764	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
115	107, 113, 114	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
116	13, 14, 15, 16	signstcl 34859	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
117	94, 115, 116	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
118	43	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
119		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
120		sgn0bi 15116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0))
121	120	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
122	121	biimpar 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
123	41, 119, 122	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
124	123	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
125	13, 14	signswlid 34853	. . . 4 ⊢ (((((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
126	117, 118, 124, 125	syl21anc 848	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
127	89, 112, 126	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
128	47, 127	pm2.61dane 3044	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 ∖ cdif 3901 ⊆ wss 3904 ∅c0 4285 ifcif 4480 {csn 4582 {cpr 4584 {ctp 4586 ⟨cop 4588 ↦ cmpt 5181 ↾ cres 5649 Fn wfn 6516 ⟶wf 6517 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ∈ cmpo 7398 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 ℝ^*cxr 11215 − cmin 11414 -cneg 11415 ℕcn 12210 ℕ₀cn0 12481 ℤcz 12568 ...cfz 13512 ..^cfzo 13659 ♯chash 14343 Word cword 14526 lastSclsw 14575 ++ cconcat 14583 ⟨“cs1 14609 prefix cpfx 14684 sgncsgn 15099 Σcsu 15713 ndxcnx 17229 Basecbs 17245 +_gcplusg 17286 Σ_g cgsu 17469

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-er 8678 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-nn 12211 df-2 12280 df-n0 12482 df-xnn0 12555 df-z 12569 df-uz 12840 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-seq 14015 df-hash 14344 df-word 14527 df-lsw 14576 df-concat 14584 df-s1 14610 df-substr 14655 df-pfx 14685 df-sgn 15100 df-struct 17183 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-plusg 17299 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-mulg 19110 df-cntz 19357

This theorem is referenced by: signsvfpn 34879 signsvfnn 34880

W3C validator