Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn0 31158
Description: If the last letter is nonzero, then this is the zero-skipping sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvtn0.1 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signsvtn0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn0
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4505 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
21biimpi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
32adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
43simpld 489 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
54adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 13536 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
8 lennncl 13551 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
109adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11 lbfzo0 12760 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
1210, 11sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
137, 12ffvelrnd 6585 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
14 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
15 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
16 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
17 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1814, 15, 16, 17signstf0 31156 . . . . . 6 ((𝐹‘0) ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
1913, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
20 signsvtn0.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (♯‘𝐹)
21 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
2220, 21syl5eqr 2846 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) = 1)
23 eqs1 13629 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
245, 22, 23syl2anc 580 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
2524fveq2d 6414 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩))
26 oveq1 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
27 1m1e0 11382 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2826, 27syl6eq 2848 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2928fveq2d 6414 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
3029fveq2d 6414 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(𝐹‘0)))
3130s1eqd 13618 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3221, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3319, 25, 323eqtr4d 2842 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩)
3421, 28syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) = 0)
3533, 34fveq12d 6417 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0))
364, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
3720oveq1i 6887 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
38 fzo0end 12812 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
393, 8, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4037, 39syl5eqel 2881 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4136, 40ffvelrnd 6585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
4241rexrd 10377 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ*)
43 sgncl 31110 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4544adantr 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
46 s1fv 13627 . . . 4 ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1} → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4745, 46syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4835, 47eqtrd 2832 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
49 fzossfz 12740 . . . . . . . . . 10 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
5049, 39sseldi 3795 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
51 pfxres 13719 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
524, 50, 51syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
5352oveq1d 6892 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
54 pfxlswccat 13760 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
5554eqcomd 2804 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
563, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
5737oveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1))
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
5958reseq2d 5599 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1))
6160fveq2d 6414 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
62 lsw 13581 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
6362adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
6461, 63eqtr4d 2835 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝐹))
6564s1eqd 13618 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
6659, 65oveq12d 6895 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
6753, 56, 663eqtr4d 2842 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
6867fveq2d 6414 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
69 ffn 6255 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
704, 6, 693syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
7271oveq2d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
7372fneq2d 6192 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 Fn (0..^𝑁) ↔ 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹))))
7470, 73mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
7520, 9syl5eqel 2881 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7675nnnn0d 11637 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
77 nn0z 11687 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
78 fzossrbm1 12749 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
80 fnssres 6214 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (0..^𝑁) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
8174, 79, 80syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
82 hashfn 13411 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
84 nnm1nn0 11620 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
85 hashfzo0 13463 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8675, 84, 853syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8783, 86eqtrd 2832 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
8887eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))
8968, 88fveq12d 6417 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9089adantr 473 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9152, 59eqtr4d 2835 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
92 pfxcl 13717 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
934, 92syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2878 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9594adantr 473 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9687adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
9775adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9897nncnd 11329 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
99 1cnd 10322 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
100 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ≠ 1)
10198, 99, 100subne0d 10692 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
10296, 101eqnetrd 3037 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0)
103 fveq2 6410 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘∅))
104 hash0 13405 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
105103, 104syl6eq 2848 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = 0)
106105necon3i 3002 . . . . . . 7 ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
10895, 107jca 508 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
109 eldifsn 4505 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
110108, 109sylibr 226 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
11141adantr 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
11214, 15, 16, 17signstfvn 31157 . . . 4 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
113110, 111, 112syl2anc 580 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
114 lennncl 13551 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ)
115 fzo0end 12812 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
116108, 114, 1153syl 18 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
11714, 15, 16, 17signstcl 31153 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11895, 116, 117syl2anc 580 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11944adantr 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
120 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
121 sgn0bi 31119 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0))
122121necon3bid 3014 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
123122biimpar 470 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12442, 120, 123syl2anc 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
125124adantr 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12614, 15signswlid 31147 . . . 4 (((((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
127118, 119, 125, 126syl21anc 867 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12890, 113, 1273eqtrd 2836 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12948, 128pm2.61dane 3057 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2970  cdif 3765  wss 3768  c0 4114  ifcif 4276  {csn 4367  {cpr 4369  {ctp 4371  cop 4373  cmpt 4921  cres 5313   Fn wfn 6095  wf 6096  cfv 6100  (class class class)co 6877  cmpt2 6879  cr 10222  0cc0 10223  1c1 10224  *cxr 10361  cmin 10555  -cneg 10556  cn 11311  0cn0 11577  cz 11663  ...cfz 12577  ..^cfzo 12717  chash 13367  Word cword 13531  lastSclsw 13579   ++ cconcat 13587  ⟨“cs1 13612   prefix cpfx 13710  sgncsgn 14164  Σcsu 14754  ndxcnx 16178  Basecbs 16181  +gcplusg 16264   Σg cgsu 16413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-oi 8656  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-n0 11578  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-hash 13368  df-word 13532  df-lsw 13580  df-concat 13588  df-s1 13613  df-substr 13662  df-pfx 13711  df-sgn 14165  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mulg 17854  df-cntz 18059
This theorem is referenced by:  signsvfpn  31175  signsvfnn  31176
  Copyright terms: Public domain W3C validator