Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvtn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvtn0 34585
Description: If the last letter is nonzero, then this is the zero-skipping sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvtn0.1 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signsvtn0 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvtn0
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
21biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
32adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
43simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
54adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 14557 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
8 lennncl 14572 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11 lbfzo0 13739 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
1210, 11sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
137, 12ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
14 signsv.p . . . . . . 7 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
15 signsv.w . . . . . . 7 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
16 signsv.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
17 signsv.v . . . . . . 7 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1814, 15, 16, 17signstf0 34583 . . . . . 6 ((𝐹‘0) ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
1913, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
20 signsvtn0.1 . . . . . . . 8 𝑁 = (♯‘𝐹)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
2220, 21eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) = 1)
23 eqs1 14650 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
245, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
2524fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩))
26 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
27 1m1e0 12338 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2826, 27eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2928fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
3029fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(𝐹‘0)))
3130s1eqd 14639 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3221, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
3319, 25, 323eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇𝐹) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩)
3421, 28syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) = 0)
3533, 34fveq12d 6913 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0))
364, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
3720oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
38 fzo0end 13797 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
393, 8, 383syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4037, 39eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4136, 40ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
4241rexrd 11311 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ*)
43 sgncl 34541 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4442, 43syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
4544adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
46 s1fv 14648 . . . 4 ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1} → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4745, 46syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
4835, 47eqtrd 2777 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
49 fzossfz 13718 . . . . . . . . . 10 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
5049, 39sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
51 pfxres 14717 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
524, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
5352oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
54 pfxlswccat 14751 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
5554eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
563, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
5737oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1))
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
5958reseq2d 5997 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
6037a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1))
6160fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
62 lsw 14602 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
6461, 63eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝐹))
6564s1eqd 14639 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
6659, 65oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
6753, 56, 663eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
6867fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
69 ffn 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
704, 6, 693syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
7120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
7271oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
7372fneq2d 6662 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 Fn (0..^𝑁) ↔ 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹))))
7470, 73mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
7520, 9eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
7675nnnn0d 12587 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
77 nn0z 12638 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
78 fzossrbm1 13728 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
80 fnssres 6691 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (0..^𝑁) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
8174, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
82 hashfn 14414 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
84 nnm1nn0 12567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
85 hashfzo0 14469 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8675, 84, 853syl 18 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
8783, 86eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
8887eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))
8968, 88fveq12d 6913 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9089adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
9152, 59eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
92 pfxcl 14715 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
934, 92syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
9491, 93eqeltrrd 2842 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9594adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
9687adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
9775adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
9897nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
99 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
100 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ≠ 1)
10198, 99, 100subne0d 11629 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
10296, 101eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0)
103 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘∅))
104 hash0 14406 . . . . . . . . 9 (♯‘∅) = 0
105103, 104eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = 0)
106105necon3i 2973 . . . . . . 7 ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
10895, 107jca 511 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
109 eldifsn 4786 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
110108, 109sylibr 234 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
11141adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
11214, 15, 16, 17signstfvn 34584 . . . 4 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
113110, 111, 112syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
114 lennncl 14572 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ)
115 fzo0end 13797 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
116108, 114, 1153syl 18 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
11714, 15, 16, 17signstcl 34580 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11895, 116, 117syl2anc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
11944adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
120 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
121 sgn0bi 34550 . . . . . . . 8 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0))
122121necon3bid 2985 . . . . . . 7 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
123122biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12442, 120, 123syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
125124adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
12614, 15signswlid 34574 . . . 4 (((((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
127118, 119, 125, 126syl21anc 838 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12890, 113, 1273eqtrd 2781 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
12948, 128pm2.61dane 3029 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  {ctp 4630  cop 4632  cmpt 5225  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633   prefix cpfx 14708  sgncsgn 15125  Σcsu 15722  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   Σg cgsu 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-sgn 15126  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086  df-cntz 19335
This theorem is referenced by:  signsvfpn  34600  signsvfnn  34601
  Copyright terms: Public domain W3C validator