signsvtn0 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > signsvtn0		Structured version Visualization version GIF version

Theorem signsvtn0 35199

Description: If the last letter is nonzero, then this is the zero-skipping sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvtn0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

**Assertion**
Ref	Expression
signsvtn0	⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏, ⨣ 𝑓,𝑖,𝑛,𝐹 𝑓,𝑊,𝑖,𝑛 𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛 𝑁,𝑎 𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁 𝑇,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛) 𝑇(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛) 𝐹(𝑗) 𝑁(𝑗) 𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏) 𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

**Proof of Theorem signsvtn0**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
2	1	birani 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
3	2	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
7		lennncl 14679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10		lbfzo0 13834	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12	6, 11	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
13		signsv.p	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
14		signsv.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+_g‘ndx), ⨣ ⟩}
15		signsv.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σ_g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
16		signsv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
17	13, 14, 15, 16	signstf0 35197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
18	12, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
19		signsvtn0.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
20		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝑁 = 1)
21	19, 20	eqtr3id 2810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (♯‘𝐹) = 1)
22		eqs1 14760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
23	4, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → 𝐹 = ⟨“(𝐹‘0)”⟩)
24	23	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘⟨“(𝐹‘0)”⟩))
25		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
26		1m1e0 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(𝐹‘0)))
30	29	s1eqd 14748	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
31	20, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩ = ⟨“(sgn‘(𝐹‘0))”⟩)
32	18, 24, 31	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑇‘𝐹) = ⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩)
33	20, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (𝑁 − 1) = 0)
34	32, 33	fveq12d 6892	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0))
35	3, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
36	19	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
37		fzo0end 13893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
38	2, 7, 37	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
39	36, 38	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
40	35, 39	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
41	40	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^*)
42		sgncl 15250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
43	41, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
45		s1fv 14758	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1} → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
46	44, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → (⟨“(sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))”⟩‘0) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
47	34, 46	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 = 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
48		fzossfz 13813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
49	48, 38	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
50		pfxres 14829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
51	3, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
52	51	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
53		pfxlswccat 14862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
54	53	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
55	2, 54	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
56	36	oveq2i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1))
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) = (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
58	57	reseq2d 5970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))))
59	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1))
60	59	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
61		lsw 14709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
63	60, 62	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝐹))
64	63	s1eqd 14748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
65	58, 64	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
66	52, 55, 65	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
67	66	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑇‘𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
68		ffn 6709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
69	3, 5, 68	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
70	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 = (♯‘𝐹))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
72	71	fneq2d 6633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 Fn (0..^𝑁) ↔ 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹))))
73	69, 72	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
74	19, 8	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
75	74	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
76		nn0z 12717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
77		fzossrbm1 13823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
78	75, 76, 77	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
79		fnssres 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^𝑁) ∧ (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
80	73, 78, 79	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)))
81		hashfn 14519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) Fn (0..^(𝑁 − 1)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
82	80, 81	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘(0..^(𝑁 − 1))))
83		nnm1nn0 12647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
84		hashfzo0 14575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
85	74, 83, 84	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(0..^(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
86	82, 85	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
87	86	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝑁 − 1) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))
88	67, 87	fveq12d 6892	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
89	88	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
90	51, 58	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))
91		pfxcl 14827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
92	3, 91	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 prefix ((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Word ℝ)
93	90, 92	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
94	93	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ)
95	86	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (𝑁 − 1))
96	74	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
97	96	nncnd 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
98		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 1 ∈ ℂ)
99		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → 𝑁 ≠ 1)
100	97, 98, 99	subne0d 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 − 1) ≠ 0)
101	95, 100	eqnetrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0)
102		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = (♯‘∅))
103		hash0 14511	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
104	102, 103	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) = ∅ → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) = 0)
105	104	necon3i 2988	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ≠ 0 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
106	101, 105	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅)
107	94, 106	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
108		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅))
109	107, 108	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
110	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
111	13, 14, 15, 16	signstfvn 35198	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
112	109, 110, 111	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))) = (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
113		lennncl 14679	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ≠ ∅) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ)
114		fzo0end 13893	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) ∈ ℕ → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
115	107, 113, 114	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))))
116	13, 14, 15, 16	signstcl 35194	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))) ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
117	94, 115, 116	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1})
118	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1})
119		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
120		sgn0bi 15256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0))
121	120	necon3bid 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* → ((sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0))
122	121	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
123	41, 119, 122	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
124	123	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0)
125	13, 14	signswlid 35188	. . . 4 ⊢ (((((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ∈ {-1, 0, 1} ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ∈ {-1, 0, 1}) ∧ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) ≠ 0) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
126	117, 118, 124, 125	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1))))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 − 1)))) − 1)) ⨣ (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
127	89, 112, 126	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) ∧ 𝑁 ≠ 1) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))
128	47, 127	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∖ cdif 3896 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 ifcif 4482 {csn 4584 {cpr 4586 {ctp 4588 ⟨cop 4590 ↦ cmpt 5186 ↾ cres 5653 Fn wfn 6533 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ∈ cmpo 7422 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 ℝ^*cxr 11342 − cmin 11541 -cneg 11542 ℕcn 12335 ℕ₀cn0 12606 ℤcz 12693 ...cfz 13639 ..^cfzo 13788 ♯chash 14474 Word cword 14658 lastSclsw 14707 ++ cconcat 14715 ⟨“cs1 14742 prefix cpfx 14820 sgncsgn 15239 Σcsu 15853 ndxcnx 17371 Basecbs 17387 +_gcplusg 17428 Σ_g cgsu 17611

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8178 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-oi 9504 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-nn 12336 df-2 12405 df-n0 12607 df-xnn0 12680 df-z 12694 df-uz 12966 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-seq 14145 df-hash 14475 df-word 14659 df-lsw 14708 df-concat 14716 df-s1 14743 df-substr 14789 df-pfx 14821 df-sgn 15240 df-struct 17325 df-slot 17360 df-ndx 17372 df-base 17388 df-plusg 17441 df-0g 17612 df-gsum 17613 df-mgm 18816 df-sgrp 18908 df-mnd 18924 df-mulg 19278 df-cntz 19531

This theorem is used by: signsvfpn 35214 signsvfnn 35215

W3C validator