Theorem signswn0 34956

Description: The zero-skipping operation propagates nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswn0	⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2	1	signspval 34948	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
3	2	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
4		neeq1 3019	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋 ≠ 0 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 0))
5		neeq1 3019	. . 3 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌 ≠ 0 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 0))
6		simplr 780	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
8	7	neqned 2964	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
9	4, 5, 6, 8	ifbothda 4525	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) → if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 0)
10	3, 9	eqnetrd 3024	1 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ifcif 4486  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11448  ndxcnx 17259  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417

This theorem is used by:  signstfvneq0  34968