Theorem signswrid 34536

Description: The zero-skipping operation propagages nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11227	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4746	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 34530	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 0 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4506	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  {cpr 4603  {ctp 4605  ⟨cop 4607  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  0cc0 11127  1c1 11128  -cneg 11465  ndxcnx 17210  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408

This theorem is referenced by:  signstfveq0  34555