Theorem signswrid 34545

Description: The zero-skipping operation propagages nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11128	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4724	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 34539	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 0 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4484	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478  {cpr 4581  {ctp 4583  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  0cc0 11028  1c1 11029  -cneg 11367  ndxcnx 17123  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-mulcl 11090  ax-i2m1 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358

This theorem is referenced by:  signstfveq0  34564