Theorem signswrid 33864

Description: The zero-skipping operation propagages nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4775	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 33858	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 0 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4535	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4529  {cpr 4631  {ctp 4633  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11113  1c1 11114  -cneg 11450  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-mulcl 11175  ax-i2m1 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417

This theorem is referenced by:  signstfveq0  33883