Theorem signswrid 35298

Description: The zero-skipping operation propagates nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11339	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4733	. . 3 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 35292	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 0 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4491	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  0cc0 11239  1c1 11240   -cneg 11581  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456

This theorem is used by:  signstfveq0  35317