Theorem signswrid 35237

Description: The zero-skipping operation propagates nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4727	. . 3 ⊢ 0 ∈ { -1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 35231	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 0 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4487	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  0cc0 11207  1c1 11208   -cneg 11549  ndxcnx 17380  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-mulcl 11269  ax-i2m1 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429

This theorem is used by:  signstfveq0  35256