Theorem signswrid 34566

Description: The zero-skipping operation propagages nonzeros. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswrid	⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑋

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11262	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid2 4778	. . 3 ⊢ 0 ∈ {-1, 0, 1}
3		signsw.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4	3	signspval 34560	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 0 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
5	2, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = if(0 = 0, 𝑋, 0))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ 0 = 0
7		iftrue 4540	. . 3 ⊢ (0 = 0 → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
8	6, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → if(0 = 0, 𝑋, 0) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑋 ⨣ 0) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4534  {cpr 4636  {ctp 4638  ⟨cop 4640  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  0cc0 11162  1c1 11163  -cneg 11500  ndxcnx 17236  Basecbs 17254  +_gcplusg 17307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-mulcl 11224  ax-i2m1 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-dif 3969  df-un 3971  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443

This theorem is referenced by:  signstfveq0  34585