Theorem sorpssi 7742

Description: Property of a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpssi	⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sorpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		solin 5621	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵))
2		elex 3493	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
3	2	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ V)
4		brrpssg 7738	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		biidd 261	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
7		elex 3493	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
8	7	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ V)
9		brrpssg 7738	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
11	5, 6, 10	3orbi123d 1432	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵)))
12	1, 11	mpbid 231	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
13		sspsstri 4109	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
14	12, 13	sylibr 233	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  Vcvv 3472   ⊆ wss 3958   ⊊ wpss 3959   class class class wbr 5154   Or wor 5595   [⊊] crpss 7735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pr 5435

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2062  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-br 5155  df-opab 5217  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-rpss 7736

This theorem is referenced by:  sorpssun  7743  sorpssin  7744  sorpssuni  7745  sorpssint  7746  sorpsscmpl  7747  enfin2i  10365  fin1a2lem9  10452  fin1a2lem10  10453  fin1a2lem11  10454  fin1a2lem13  10456  ssdifidllem  33394  ssmxidllem  33411