Theorem sorpssi 7684

Description: Property of a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpssi	⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sorpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		solin 5567	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵))
2		elex 3463	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
3	2	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ V)
4		brrpssg 7680	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		biidd 262	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
7		elex 3463	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
8	7	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ V)
9		brrpssg 7680	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
11	5, 6, 10	3orbi123d 1438	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵)))
12	1, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
13		sspsstri 4059	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100   Or wor 5539   [⊊] crpss 7677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-rpss 7678

This theorem is referenced by:  sorpssun  7685  sorpssin  7686  sorpssuni  7687  sorpssint  7688  sorpsscmpl  7689  enfin2i  10243  fin1a2lem9  10330  fin1a2lem10  10331  fin1a2lem11  10332  fin1a2lem13  10334  ssdifidllem  33553  ssmxidllem  33570