Theorem sorpssi 7672

Description: Property of a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpssi	⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem sorpssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		solin 5557	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵))
2		elex 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
3	2	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ V)
4		brrpssg 7668	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 [⊊] 𝐶 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐶))
6		biidd 262	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
7		elex 3459	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
8	7	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ V)
9		brrpssg 7668	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶 [⊊] 𝐵 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))
11	5, 6, 10	3orbi123d 1437	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 [⊊] 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 [⊊] 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵)))
12	1, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
13		sspsstri 4055	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ 𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶 ⊊ 𝐵))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∨ 𝐶 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5096   Or wor 5529   [⊊] crpss 7665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-rpss 7666

This theorem is referenced by:  sorpssun  7673  sorpssin  7674  sorpssuni  7675  sorpssint  7676  sorpsscmpl  7677  enfin2i  10229  fin1a2lem9  10316  fin1a2lem10  10317  fin1a2lem11  10318  fin1a2lem13  10320  ssdifidllem  33486  ssmxidllem  33503