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Theorem ssmxidllem 32293
Description: The set 𝑃 used in the proof of ssmxidl 32294 satisfies the condition of Zorn's Lemma. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ssmxidl.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ssmxidllem.1 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∣ (𝑝 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑝)}
ssmxidllem.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ssmxidllem.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
ssmxidllem.4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐡)
ssmxidllem2.1 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝑃)
ssmxidllem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
ssmxidllem2.3 (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ssmxidllem (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 ∈ 𝑃)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑝   𝐼,𝑝   𝑅,𝑝   𝑍,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝑃(𝑝)

Proof of Theorem ssmxidllem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3003 . . . 4 (𝑝 = βˆͺ 𝑍 β†’ (𝑝 β‰  𝐡 ↔ βˆͺ 𝑍 β‰  𝐡))
2 sseq2 3974 . . . 4 (𝑝 = βˆͺ 𝑍 β†’ (𝐼 βŠ† 𝑝 ↔ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑍))
31, 2anbi12d 632 . . 3 (𝑝 = βˆͺ 𝑍 β†’ ((𝑝 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑝) ↔ (βˆͺ 𝑍 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑍)))
4 ssmxidllem2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝑃)
5 ssmxidllem.1 . . . . . . . . . 10 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∣ (𝑝 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑝)}
65ssrab3 4044 . . . . . . . . 9 𝑃 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)
74, 6sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
87sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9 ssmxidl.1 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
119, 10lidlss 20725 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 βŠ† 𝐡)
1312ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 βŠ† 𝐡)
14 unissb 4904 . . . . 5 (βˆͺ 𝑍 βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 βŠ† 𝐡)
1513, 14sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 βŠ† 𝐡)
16 ssmxidllem2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  βˆ…)
17 ssmxidllem.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1817adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2010, 19lidl0cl 20727 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
2118, 8, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
22 n0i 4297 . . . . . . . . 9 ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑗 β†’ Β¬ 𝑗 = βˆ…)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Β¬ 𝑗 = βˆ…)
2423reximdva0 4315 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑍 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 Β¬ 𝑗 = βˆ…)
2516, 24mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 Β¬ 𝑗 = βˆ…)
26 rexnal 3100 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 Β¬ 𝑗 = βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 = βˆ…)
2725, 26sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 = βˆ…)
28 uni0c 4899 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑍 = βˆ… ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 = βˆ…)
2928necon3abii 2987 . . . . 5 (βˆͺ 𝑍 β‰  βˆ… ↔ Β¬ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝑗 = βˆ…)
3027, 29sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 β‰  βˆ…)
31 eluni2 4873 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖)
32 eluni2 4873 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑏 ∈ 𝑗)
3331, 32anbi12i 628 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑍 ∧ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝑍) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑏 ∈ 𝑗))
34 an32 645 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖))
3517ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
367ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ 𝑍 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
37 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
3836, 37sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
40 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑖 βŠ† 𝑗)
42 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
4341, 42sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ π‘Ž ∈ 𝑗)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4510, 9, 44lidlmcl 20732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝑗)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑗)
4635, 39, 40, 43, 45syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑗)
47 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑏 ∈ 𝑗)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4910, 48lidlacl 20728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑗 ∧ 𝑏 ∈ 𝑗)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑗)
5035, 39, 46, 47, 49syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑗)
5137adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
52 elunii 4874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑗 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
5350, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 βŠ† 𝑗) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
5417ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5536adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑍 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
56 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
5855, 57sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
59 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
60 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
6110, 9, 44lidlmcl 20732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝑖)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
6254, 58, 59, 60, 61syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑗 βŠ† 𝑖)
64 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑏 ∈ 𝑗)
6563, 64sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
6610, 48lidlacl 20728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
6754, 58, 62, 65, 66syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
68 elunii 4874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
6967, 57, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 βŠ† 𝑖) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
70 ssmxidllem2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ [⊊] Or 𝑍)
7170ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ [⊊] Or 𝑍)
72 sorpssi 7670 . . . . . . . . . . . . . 14 (( [⊊] Or 𝑍 ∧ (𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)) β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ∨ 𝑗 βŠ† 𝑖))
7371, 56, 37, 72syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ (𝑖 βŠ† 𝑗 ∨ 𝑗 βŠ† 𝑖))
7453, 69, 73mpjaodan 958 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
7574r19.29an 3152 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
7675an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
7734, 76sylanb 582 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑏 ∈ 𝑗) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
7877r19.29an 3152 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖) ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑏 ∈ 𝑗) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
7978anasss 468 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 π‘Ž ∈ 𝑖 ∧ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 𝑏 ∈ 𝑗)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
8033, 79sylan2b 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑍 ∧ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝑍)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
8180ralrimivva 3194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ βˆͺ π‘βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑍((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
8281ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ βˆͺ π‘βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑍((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍)
8310, 9, 48, 44islidl 20726 . . . 4 (βˆͺ 𝑍 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↔ (βˆͺ 𝑍 βŠ† 𝐡 ∧ βˆͺ 𝑍 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ βˆͺ π‘βˆ€π‘ ∈ βˆͺ 𝑍((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ βˆͺ 𝑍))
8415, 30, 82, 83syl3anbrc 1344 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
854sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑃)
86 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 β†’ (𝑝 β‰  𝐡 ↔ 𝑗 β‰  𝐡))
87 sseq2 3974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 β†’ (𝐼 βŠ† 𝑝 ↔ 𝐼 βŠ† 𝑗))
8886, 87anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑗 β†’ ((𝑝 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑝) ↔ (𝑗 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑗)))
8988, 5elrab2 3652 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (𝑗 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑗)))
9085, 89sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (𝑗 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑗)))
9190simprld 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 β‰  𝐡)
92 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
939, 92pridln1 32270 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑗 β‰  𝐡) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
9418, 8, 91, 93syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
9594nrexdv 3143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
96 eluni2 4873 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘…) ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑗)
9795, 96sylnibr 329 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ βˆͺ 𝑍)
9810, 9, 92lidl1el 20733 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ βˆͺ 𝑍 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆͺ 𝑍 = 𝐡))
9917, 84, 98syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆͺ 𝑍 = 𝐡))
10099necon3bbid 2978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ βˆͺ 𝑍 ↔ βˆͺ 𝑍 β‰  𝐡))
10197, 100mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 β‰  𝐡)
10290simprrd 773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝐼 βŠ† 𝑗)
103102ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐼 βŠ† 𝑗)
104 ssint 4929 . . . . . 6 (𝐼 βŠ† ∩ 𝑍 ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑍 𝐼 βŠ† 𝑗)
105103, 104sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† ∩ 𝑍)
106 intssuni 4935 . . . . . 6 (𝑍 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑍 βŠ† βˆͺ 𝑍)
10716, 106syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑍 βŠ† βˆͺ 𝑍)
108105, 107sstrd 3958 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑍)
109101, 108jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑍 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† βˆͺ 𝑍))
1103, 84, 109elrabd 3651 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∣ (𝑝 β‰  𝐡 ∧ 𝐼 βŠ† 𝑝)})
111110, 5eleqtrrdi 2845 1 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑍 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911   Or wor 5548  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   [⊊] crpss 7663  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LIdealclidl 20676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680
This theorem is referenced by:  ssmxidl  32294
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