Theorem fin1a2lem10 10345

Description: Lemma for fin1a2 10351. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem10	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqneqall 2954	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)))
2		tru 1545	. . . . 5 ⊢ ⊤
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ⊤)
4	1, 3	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ⊤))
5		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6		soeq2 5567	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝑏))
7		unieq 4876	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝑏)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
9	7, 8	eleq12d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
10	6, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
11	5, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))))
12		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13		soeq2 5567	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14		unieq 4876	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ 𝑎 = ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}))
15		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
16	14, 15	eleq12d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
17	13, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
18	12, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20		soeq2 5567	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝐴))
21		unieq 4876	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝐴)
22		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
23	21, 22	eleq12d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
24	20, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
25	19, 24	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))))
26		unisnv 4888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑐} = 𝑐
27		vsnid 4623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑐 ∈ {𝑐}
28	26, 27	eqeltri 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}
29		uneq1 4116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
30		uncom 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
31		un0 4350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
32	30, 31	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
33	29, 32	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
34	33	unieqd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = ∪ {𝑐})
35	34, 33	eleq12d 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}))
36	28, 35	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
37	36	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
38	37	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
39		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
40		ssun1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
41		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
42		soss 5565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [⊊] Or 𝑏))
43	40, 41, 42	mpsyl 68	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or 𝑏)
44		uniun 4891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐})
45	26	uneq2i 4120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
46	44, 45	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
47		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
48		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
49		elun1 4136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
50	49	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
51		ssun2 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
52	51, 27	sselii 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
54		sorpssi 7666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
55	48, 50, 53, 54	syl12anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
56		ssequn1 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ↔ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐)
57	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
58		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
59	57, 58	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
60	56, 59	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
61	60	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ ∪ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
62		uncom 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = (𝑐 ∪ ∪ 𝑏)
63		ssequn1 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 ↔ (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏)
64		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
65	49, 64	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
66	63, 65	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
67	66	impcom 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
68	62, 67	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
69	61, 68	jaodan 956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
70	47, 55, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
71	46, 70	eqeltrid 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
72	71	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
73	43, 72	embantd 59	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
74	39, 73	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
75	38, 74	pm2.61dane 3032	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
76	75	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
77	76	com24 95	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
78	4, 11, 18, 25, 2, 77	findcard2 9108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
79	78	3imp21 1114	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  ∪ cuni 4865   Or wor 5544   [⊊] crpss 7659  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-rpss 7660  df-om 7803  df-en 8884  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10346  pgpfac1lem5  19858