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Theorem fin1a2lem10 10352
Description: Lemma for fin1a2 10358. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqneqall 2955 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)))
2 tru 1546 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ⊤)
41, 32thd 265 . . 3 (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ⊤))
5 neeq1 3007 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6 soeq2 5572 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝑏))
7 unieq 4881 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
97, 8eleq12d 2832 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎𝑎 𝑏𝑏))
106, 9imbi12d 345 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)))
115, 10imbi12d 345 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏))))
12 neeq1 3007 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13 soeq2 5572 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14 unieq 4881 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
15 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
1614, 15eleq12d 2832 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( 𝑎𝑎 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
1713, 16imbi12d 345 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
1812, 17imbi12d 345 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19 neeq1 3007 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20 soeq2 5572 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝐴))
21 unieq 4881 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
22 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
2321, 22eleq12d 2832 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎𝑎 𝐴𝐴))
2420, 23imbi12d 345 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
2519, 24imbi12d 345 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴))))
26 unisnv 4893 . . . . . . . . . 10 {𝑐} = 𝑐
27 vsnid 4628 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ {𝑐}
2826, 27eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 {𝑐} ∈ {𝑐}
29 uneq1 4121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
30 uncom 4118 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
31 un0 4355 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
3230, 31eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
3329, 32eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3433unieqd 4884 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3534, 33eleq12d 2832 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ∅ → ( (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ {𝑐} ∈ {𝑐}))
3628, 35mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
3736a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
3837adantl 483 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
39 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
40 ssun1 4137 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
41 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
42 soss 5570 . . . . . . . . 9 (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [] Or 𝑏))
4340, 41, 42mpsyl 68 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or 𝑏)
44 uniun 4896 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏 {𝑐})
4526uneq2i 4125 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑏 {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
4644, 45eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
47 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏𝑏)
48 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
49 elun1 4141 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑏 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
5049ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
51 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
5251, 27sselii 3946 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
54 sorpssi 7671 . . . . . . . . . . . 12 (( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ ( 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
5548, 50, 53, 54syl12anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
56 ssequn1 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑐 ↔ ( 𝑏𝑐) = 𝑐)
5752a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑏𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
58 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → (( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
5957, 58syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6056, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6160impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑏 𝑏𝑐) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
62 uncom 4118 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑐) = (𝑐 𝑏)
63 ssequn1 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑏 ↔ (𝑐 𝑏) = 𝑏)
64 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ((𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6549, 64syl5ibr 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6663, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6766impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
6862, 67eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
6961, 68jaodan 957 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑏𝑏 ∧ ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7047, 55, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7146, 70eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7271expr 458 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ( 𝑏𝑏 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7343, 72embantd 59 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [] Or 𝑏 𝑏𝑏) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7439, 73embantd 59 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7538, 74pm2.61dane 3033 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
76753exp 1120 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
7776com24 95 . . 3 (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
784, 11, 18, 25, 2, 77findcard2 9115 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
79783imp21 1115 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  wne 2944  cun 3913  wss 3915  c0 4287  {csn 4591   cuni 4870   Or wor 5549   [] crpss 7664  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-rpss 7665  df-om 7808  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10353  pgpfac1lem5  19865
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