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Theorem fin1a2lem10 10406
Description: Lemma for fin1a2 10412. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqneqall 2951 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)))
2 tru 1545 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ⊤)
41, 32thd 264 . . 3 (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ⊤))
5 neeq1 3003 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6 soeq2 5610 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝑏))
7 unieq 4919 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
97, 8eleq12d 2827 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎𝑎 𝑏𝑏))
106, 9imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)))
115, 10imbi12d 344 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏))))
12 neeq1 3003 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13 soeq2 5610 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14 unieq 4919 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
15 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
1614, 15eleq12d 2827 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( 𝑎𝑎 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
1713, 16imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
1812, 17imbi12d 344 . . 3 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19 neeq1 3003 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20 soeq2 5610 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝐴))
21 unieq 4919 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
22 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
2321, 22eleq12d 2827 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎𝑎 𝐴𝐴))
2420, 23imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
2519, 24imbi12d 344 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴))))
26 unisnv 4931 . . . . . . . . . 10 {𝑐} = 𝑐
27 vsnid 4665 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ {𝑐}
2826, 27eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 {𝑐} ∈ {𝑐}
29 uneq1 4156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
30 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
31 un0 4390 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
3230, 31eqtri 2760 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
3329, 32eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3433unieqd 4922 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3534, 33eleq12d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ∅ → ( (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ {𝑐} ∈ {𝑐}))
3628, 35mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
3736a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
3837adantl 482 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
39 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
40 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
41 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
42 soss 5608 . . . . . . . . 9 (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [] Or 𝑏))
4340, 41, 42mpsyl 68 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or 𝑏)
44 uniun 4934 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏 {𝑐})
4526uneq2i 4160 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑏 {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
4644, 45eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
47 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏𝑏)
48 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
49 elun1 4176 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑏 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
5049ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
51 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
5251, 27sselii 3979 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
54 sorpssi 7721 . . . . . . . . . . . 12 (( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ ( 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
5548, 50, 53, 54syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
56 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑐 ↔ ( 𝑏𝑐) = 𝑐)
5752a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑏𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
58 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → (( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
5957, 58imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6056, 59sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6160impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑏 𝑏𝑐) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
62 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑏𝑐) = (𝑐 𝑏)
63 ssequn1 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑏 ↔ (𝑐 𝑏) = 𝑏)
64 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ((𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6549, 64imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6663, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6766impcom 408 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
6862, 67eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
6961, 68jaodan 956 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑏𝑏 ∧ ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7047, 55, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7146, 70eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7271expr 457 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ( 𝑏𝑏 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7343, 72embantd 59 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [] Or 𝑏 𝑏𝑏) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7439, 73embantd 59 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7538, 74pm2.61dane 3029 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
76753exp 1119 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
7776com24 95 . . 3 (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
784, 11, 18, 25, 2, 77findcard2 9166 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
79783imp21 1114 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2940  cun 3946  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   cuni 4908   Or wor 5587   [] crpss 7714  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-rpss 7715  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10407  pgpfac1lem5  19951
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