Theorem fin1a2lem10 10096

Description: Lemma for fin1a2 10102. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem10	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqneqall 2953	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)))
2		tru 1543	. . . . 5 ⊢ ⊤
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → ⊤)
4	1, 3	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ⊤))
5		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6		soeq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝑏))
7		unieq 4847	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝑏)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
9	7, 8	eleq12d 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))
10	6, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)))
11	5, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏))))
12		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13		soeq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14		unieq 4847	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ 𝑎 = ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}))
15		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
16	14, 15	eleq12d 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
17	13, 16	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
18	12, 17	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20		soeq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ( [⊊] Or 𝑎 ↔ [⊊] Or 𝐴))
21		unieq 4847	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∪ 𝑎 = ∪ 𝐴)
22		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
23	21, 22	eleq12d 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∪ 𝑎 ∈ 𝑎 ↔ ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))
24	20, 23	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎) ↔ ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
25	19, 24	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑎 → ∪ 𝑎 ∈ 𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴))))
26		vex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑐 ∈ V
27	26	unisn 4858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝑐} = 𝑐
28		vsnid 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑐 ∈ {𝑐}
29	27, 28	eqeltri 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}
30		uneq1 4086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
31		uncom 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
32		un0 4321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
33	31, 32	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
34	30, 33	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
35	34	unieqd 4850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = ∪ {𝑐})
36	35, 34	eleq12d 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ∅ → (∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ {𝑐} ∈ {𝑐}))
37	29, 36	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ∅ → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
38	37	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
40		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
41		ssun1 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
42		simpl2 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
43		soss 5514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [⊊] Or 𝑏))
44	41, 42, 43	mpsyl 68	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [⊊] Or 𝑏)
45		uniun 4861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐})
46	27	uneq2i 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
47	45, 46	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∪ 𝑏 ∪ 𝑐)
48		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)
49		simpl2 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
50		elun1 4106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
51	50	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
52		ssun2 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
53	52, 28	sselii 3914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
55		sorpssi 7560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
56	49, 51, 54, 55	syl12anc 833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏))
57		ssequn1 4110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ↔ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐)
58	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
59		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
60	58, 59	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
61	57, 60	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
62	61	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ ∪ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
63		uncom 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) = (𝑐 ∪ ∪ 𝑏)
64		ssequn1 4110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 ↔ (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏)
65		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ ∪ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
66	50, 65	syl5ibr 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∪ ∪ 𝑏) = ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
67	64, 66	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ⊆ ∪ 𝑏 → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
68	67	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (𝑐 ∪ ∪ 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
69	63, 68	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
70	62, 69	jaodan 954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑏 ∈ 𝑏 ∧ (∪ 𝑏 ⊆ 𝑐 ∨ 𝑐 ⊆ ∪ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
71	48, 56, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → (∪ 𝑏 ∪ 𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
72	47, 71	eqeltrid 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
73	72	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (∪ 𝑏 ∈ 𝑏 → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
74	44, 73	embantd 59	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
75	40, 74	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
76	39, 75	pm2.61dane 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ Fin ∧ [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
77	76	3exp 1117	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
78	77	com24 95	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝑏 → ∪ 𝑏 ∈ 𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [⊊] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ∪ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
79	4, 11, 18, 25, 2, 78	findcard2 8909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [⊊] Or 𝐴 → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)))
80	79	3imp21 1112	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [⊊] Or 𝐴) → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ∪ cuni 4836   Or wor 5493   [⊊] crpss 7553  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-rpss 7554  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10097  pgpfac1lem5  19597