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Theorem fin1a2lem10 9433
Description: Lemma for fin1a2 9439. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqneqall 2954 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)))
2 tru 1635 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ⊤)
41, 32thd 255 . . . 4 (𝑎 = ∅ → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ⊤))
5 neeq1 3005 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝑏 ≠ ∅))
6 soeq2 5190 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝑏))
7 unieq 4582 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏)
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
97, 8eleq12d 2844 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ( 𝑎𝑎 𝑏𝑏))
106, 9imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)))
115, 10imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏))))
12 neeq1 3005 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ≠ ∅ ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅))
13 soeq2 5190 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐})))
14 unieq 4582 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → 𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}))
1614, 15eleq12d 2844 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( 𝑎𝑎 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
1713, 16imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))))
1812, 17imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
19 neeq1 3005 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
20 soeq2 5190 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ( [] Or 𝑎 ↔ [] Or 𝐴))
21 unieq 4582 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 𝑎 = 𝐴)
22 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
2321, 22eleq12d 2844 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎𝑎 𝐴𝐴))
2420, 23imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (( [] Or 𝑎 𝑎𝑎) ↔ ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
2519, 24imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑎 𝑎𝑎)) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴))))
26 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
2726unisn 4589 . . . . . . . . . . 11 {𝑐} = 𝑐
28 vsnid 4348 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ {𝑐}
2927, 28eqeltri 2846 . . . . . . . . . 10 {𝑐} ∈ {𝑐}
30 uneq1 3911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = (∅ ∪ {𝑐}))
31 uncom 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑐}) = ({𝑐} ∪ ∅)
32 un0 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑐} ∪ ∅) = {𝑐}
3331, 32eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ {𝑐}) = {𝑐}
3430, 33syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3534unieqd 4584 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) = {𝑐})
3635, 34eleq12d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ∅ → ( (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ {𝑐} ∈ {𝑐}))
3729, 36mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ∅ → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
3837a1d 25 . . . . . . . 8 (𝑏 = ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
3938adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 = ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
40 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → 𝑏 ≠ ∅)
41 ssun1 3927 . . . . . . . . . 10 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
42 simpl2 1229 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
43 soss 5188 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → [] Or 𝑏))
4441, 42, 43mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [] Or 𝑏)
45 uniun 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏 {𝑐})
4627uneq2i 3915 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑏 {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
4745, 46eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∪ {𝑐}) = ( 𝑏𝑐)
48 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏𝑏)
49 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}))
50 elun1 3931 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑏 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
5150ad2antll 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
52 ssun2 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
5352, 28sselii 3749 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
55 sorpssi 7090 . . . . . . . . . . . . 13 (( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ ( 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
5649, 51, 54, 55syl12anc 1474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏))
57 ssequn1 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑏𝑐 ↔ ( 𝑏𝑐) = 𝑐)
5853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑏𝑏𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
59 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → (( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑐 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6058, 59syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑏𝑐) = 𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6157, 60sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑐 → ( 𝑏𝑏 → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6261impcom 394 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑏 𝑏𝑐) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
63 uncom 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑏𝑐) = (𝑐 𝑏)
64 ssequn1 3934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 𝑏 ↔ (𝑐 𝑏) = 𝑏)
65 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ((𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}) ↔ 𝑏 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6650, 65syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 𝑏) = 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6764, 66sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 𝑏 → ( 𝑏𝑏 → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
6867impcom 394 . . . . . . . . . . . . . 14 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → (𝑐 𝑏) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
6963, 68syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝑏𝑏𝑐 𝑏) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7062, 69jaodan 942 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑏𝑏 ∧ ( 𝑏𝑐𝑐 𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7148, 56, 70syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → ( 𝑏𝑐) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7247, 71syl5eqel 2854 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ (𝑏 ≠ ∅ ∧ 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐}))
7372expr 444 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ( 𝑏𝑏 (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7444, 73embantd 59 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → (( [] Or 𝑏 𝑏𝑏) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7540, 74embantd 59 . . . . . . 7 (((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
7639, 75pm2.61dane 3030 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Fin ∧ [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅) → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))
77763exp 1112 . . . . 5 (𝑏 ∈ Fin → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
7877com24 95 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → ((𝑏 ≠ ∅ → ( [] Or 𝑏 𝑏𝑏)) → ((𝑏 ∪ {𝑐}) ≠ ∅ → ( [] Or (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑏 ∪ {𝑐}) ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})))))
794, 11, 18, 25, 2, 78findcard2 8356 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
8079com12 32 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → ( [] Or 𝐴 𝐴𝐴)))
81803imp 1101 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ [] Or 𝐴) → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  cun 3721  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   cuni 4574   Or wor 5169   [] crpss 7083  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-rpss 7084  df-om 7213  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9434  pgpfac1lem5  18686
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