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Theorem fin1a2lem11 10353
Description: Lemma for fin1a2 10358. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem11 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ran (𝑏 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
Distinct variable group:   𝑏,𝑐,𝐴

Proof of Theorem fin1a2lem11
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑏 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}) = (𝑏 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
21rnmpt 5915 . 2 ran (𝑏 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}) = {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}}
3 unieq 4881 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ… β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆͺ βˆ…)
4 uni0 4901 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ βˆ… = βˆ…
53, 4eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ… β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…)
65adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…)
7 0ex 5269 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ V
87elsn2 4630 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…} ↔ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…)
96, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…})
109olcd 873 . . . . . . . 8 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆ…) β†’ (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…}))
11 ssrab2 4042 . . . . . . . . . 10 {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} βŠ† 𝐴
12 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…)
13 fin1a2lem9 10351 . . . . . . . . . . . 12 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ Fin)
1413ad4ant123 1173 . . . . . . . . . . 11 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ Fin)
15 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ [⊊] Or 𝐴)
16 soss 5570 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} βŠ† 𝐴 β†’ ( [⊊] Or 𝐴 β†’ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
1711, 15, 16mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
18 fin1a2lem10 10352 . . . . . . . . . . 11 (({𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ… ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ Fin ∧ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
1912, 14, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
2011, 19sselid 3947 . . . . . . . . 9 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴)
2120orcd 872 . . . . . . . 8 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) ∧ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β‰  βˆ…) β†’ (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…}))
2210, 21pm2.61dane 3033 . . . . . . 7 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…}))
23 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ↔ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴))
24 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β†’ (𝑑 ∈ {βˆ…} ↔ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…}))
2523, 24orbi12d 918 . . . . . . 7 (𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ∈ {βˆ…})))
2622, 25syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑏 ∈ Ο‰) β†’ (𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…})))
2726rexlimdva 3153 . . . . 5 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…})))
28 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
2928sselda 3949 . . . . . . . . 9 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
30 ficardom 9904 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π‘‘) ∈ Ο‰)
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π‘‘) ∈ Ο‰)
32 breq1 5113 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑑 β†’ (𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘) ↔ 𝑑 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
34 ficardid 9905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Fin β†’ (cardβ€˜π‘‘) β‰ˆ 𝑑)
3529, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (cardβ€˜π‘‘) β‰ˆ 𝑑)
36 ensym 8950 . . . . . . . . . . . 12 ((cardβ€˜π‘‘) β‰ˆ 𝑑 β†’ 𝑑 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‘))
37 endom 8926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 β‰ˆ (cardβ€˜π‘‘) β†’ 𝑑 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))
3932, 33, 38elrabd 3652 . . . . . . . . . 10 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
40 elssuni 4903 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)} β†’ 𝑑 βŠ† βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 βŠ† βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
42 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘) ↔ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)))
4342elrab 3650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)} ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)))
44 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))
4535adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ (cardβ€˜π‘‘) β‰ˆ 𝑑)
46 domentr 8960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘) ∧ (cardβ€˜π‘‘) β‰ˆ 𝑑) β†’ 𝑏 β‰Ό 𝑑)
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑏 β‰Ό 𝑑)
48 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝐴 βŠ† Fin)
49 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
5048, 49sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑏 ∈ Fin)
5129adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
52 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ [⊊] Or 𝐴)
53 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
54 sorpssi 7671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑏 βŠ† 𝑑 ∨ 𝑑 βŠ† 𝑏))
5552, 49, 53, 54syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ (𝑏 βŠ† 𝑑 ∨ 𝑑 βŠ† 𝑏))
56 fincssdom 10266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑏 βŠ† 𝑑 ∨ 𝑑 βŠ† 𝑏)) β†’ (𝑏 β‰Ό 𝑑 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑑))
5750, 51, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ (𝑏 β‰Ό 𝑑 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑑))
5847, 57mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑑)
5958ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑑))
6043, 59biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)} β†’ 𝑏 βŠ† 𝑑))
6160ralrimiv 3143 . . . . . . . . . 10 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)}𝑏 βŠ† 𝑑)
62 unissb 4905 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)} βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)}𝑏 βŠ† 𝑑)
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)} βŠ† 𝑑)
6441, 63eqssd 3966 . . . . . . . 8 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
65 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (cardβ€˜π‘‘) β†’ (𝑐 β‰Ό 𝑏 ↔ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)))
6665rabbidv 3418 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (cardβ€˜π‘‘) β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
6766unieqd 4884 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (cardβ€˜π‘‘) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)})
6867rspceeqv 3600 . . . . . . . 8 (((cardβ€˜π‘‘) ∈ Ο‰ ∧ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό (cardβ€˜π‘‘)}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
6931, 64, 68syl2anc 585 . . . . . . 7 ((( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
7069ex 414 . . . . . 6 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
71 velsn 4607 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {βˆ…} ↔ 𝑑 = βˆ…)
72 peano1 7830 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ Ο‰
73 dom0 9053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 β‰Ό βˆ… ↔ 𝑏 = βˆ…)
7473biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 β‰Ό βˆ… β†’ 𝑏 = βˆ…)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό βˆ…) β†’ 𝑏 = βˆ…)
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό βˆ…) β†’ 𝑏 = βˆ…))
77 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑐 β‰Ό βˆ… ↔ 𝑏 β‰Ό βˆ…))
7877elrab 3650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 β‰Ό βˆ…))
79 velsn 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {βˆ…} ↔ 𝑏 = βˆ…)
8076, 78, 793imtr4g 296 . . . . . . . . . . . 12 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (𝑏 ∈ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} β†’ 𝑏 ∈ {βˆ…}))
8180ssrdv 3955 . . . . . . . . . . 11 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} βŠ† {βˆ…})
82 uni0b 4899 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} = βˆ… ↔ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} βŠ† {βˆ…})
8381, 82sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…} = βˆ…)
8483eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…})
85 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = βˆ… β†’ (𝑐 β‰Ό 𝑏 ↔ 𝑐 β‰Ό βˆ…))
8685rabbidv 3418 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = βˆ… β†’ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…})
8786unieqd 4884 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = βˆ… β†’ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…})
8887rspceeqv 3600 . . . . . . . . 9 ((βˆ… ∈ Ο‰ ∧ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό βˆ…}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
8972, 84, 88sylancr 588 . . . . . . . 8 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏})
90 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βˆ… β†’ (𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ↔ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
9190rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑑 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ↔ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ βˆ… = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
9289, 91syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (𝑑 = βˆ… β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
9371, 92biimtrid 241 . . . . . 6 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (𝑑 ∈ {βˆ…} β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
9470, 93jaod 858 . . . . 5 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}))
9527, 94impbid 211 . . . 4 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…})))
96 elun 4113 . . . 4 (𝑑 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∨ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
9795, 96bitr4di 289 . . 3 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏} ↔ 𝑑 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…})))
9897abbi1dv 2873 . 2 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ {𝑑 ∣ βˆƒπ‘ ∈ Ο‰ 𝑑 = βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}} = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
992, 98eqtrid 2789 1 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ran (𝑏 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑐 ∈ 𝐴 ∣ 𝑐 β‰Ό 𝑏}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Or wor 5549  ran crn 5639  β€˜cfv 6501   [⊊] crpss 7664  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  cardccrd 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882
This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  10354
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