Theorem fin1a2lem9 10321

Description: Lemma for fin1a2 10328. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem9	⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 9141	. . . . 5 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4166	. . . . 5 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3961	. . . 4 ⊢ ω ⊆ Fin
4		peano2 7830	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
5	3, 4	sselid 3913	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
6	5	3ad2ant3 1141	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
7	4	3ad2ant3 1141	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8		breq1 5075	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ≼ 𝐴 ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 3629	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ↔ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴))
10		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ≼ 𝐴)
11		simpl2 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12		simprl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14		finnum 9863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16		simpl3 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
17	3, 16	sselid 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18		finnum 9863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20		carddom2 9892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
21	15, 19, 20	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
22	10, 21	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
23	22	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24		cardnn 9878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
25	24	sseq2d 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26		cardon 9859	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝑐) ∈ On
27		nnon 7812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		onsssuc 6402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
29	26, 27, 28	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
30	25, 29	bitrd 280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31	30	3ad2ant3 1141	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
32	23, 31	sylibd 240	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
33	9, 32	biimtrid 243	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34		elrabi 3625	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑐 ∈ 𝑋)
35		elrabi 3625	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑑 ∈ 𝑋)
36		ssel 3909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐 ∈ 𝑋 → 𝑐 ∈ Fin))
37		ssel 3909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑 ∈ 𝑋 → 𝑑 ∈ Fin))
38	36, 37	anim12d 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
39	38	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40	39	3ad2antl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41		sorpssi 7672	. . . . . . . . 9 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
42	41	3ad2antl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
43		finnum 9863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44		carden2 9902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
45	14, 43, 44	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
47		fin23lem25 10237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
48	47	3expa 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
49	48	biimpd 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 → 𝑐 = 𝑑))
50	46, 49	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
51	40, 42, 50	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
53	51, 52	impbid1 226	. . . . . 6 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
54	53	ex 413	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
55	34, 35, 54	syl2ani 613	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
56	33, 55	dom2d 8930	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴))
57	7, 56	mpd 15	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴)
58		domfi 9113	. 2 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)
59	6, 57, 58	syl2anc 590	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   Or wor 5525  dom cdm 5618  Oncon0 6310  suc csuc 6312  ‘cfv 6485   [⊊] crpss 7665  ωcom 7806   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  Fincfn 8883  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10323