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Theorem fin1a2lem9 10445
Description: Lemma for fin1a2 10452. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem9 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onfin2 9265 . . . . 5 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 4245 . . . . 5 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 4029 . . . 4 ω ⊆ Fin
4 peano2 7912 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
53, 4sselid 3992 . . 3 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
653ad2ant3 1134 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
743ad2ant3 1134 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐴𝑐𝐴))
98elrab 3694 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ↔ (𝑐𝑋𝑐𝐴))
10 simprr 773 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝐴)
11 simpl2 1191 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝑋)
1311, 12sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14 finnum 9985 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
173, 16sselid 3992 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18 finnum 9985 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20 carddom2 10014 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2210, 21mpbird 257 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
2322ex 412 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24 cardnn 10000 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2524sseq2d 4027 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26 cardon 9981 . . . . . . . . 9 (card‘𝑐) ∈ On
27 nnon 7892 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28 onsssuc 6475 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3025, 29bitrd 279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31303ad2ant3 1134 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3223, 31sylibd 239 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
339, 32biimtrid 242 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34 elrabi 3689 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑐𝑋)
35 elrabi 3689 . . . . 5 (𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑑𝑋)
36 ssel 3988 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐𝑋𝑐 ∈ Fin))
37 ssel 3988 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑𝑋𝑑 ∈ Fin))
3836, 37anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
3938imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40393ad2antl2 1185 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41 sorpssi 7747 . . . . . . . . 9 (( [] Or 𝑋 ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
42413ad2antl1 1184 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
43 finnum 9985 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44 carden2 10024 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4514, 43, 44syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
47 fin23lem25 10361 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
48473expa 1117 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
4948biimpd 229 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
5046, 49sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5140, 42, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
5351, 52impbid1 225 . . . . . 6 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5453ex 412 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5534, 35, 54syl2ani 607 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5633, 55dom2d 9031 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴))
577, 56mpd 15 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴)
58 domfi 9226 . 2 ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
596, 57, 58syl2anc 584 1 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147   Or wor 5595  dom cdm 5688  Oncon0 6385  suc csuc 6387  cfv 6562   [] crpss 7740  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  Fincfn 8983  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10447
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