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Theorem fin1a2lem9 9483
Description: Lemma for fin1a2 9490. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem9 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onfin2 8359 . . . . 5 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 3993 . . . . 5 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 3795 . . . 4 ω ⊆ Fin
4 peano2 7284 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
53, 4sseldi 3759 . . 3 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
653ad2ant3 1165 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
743ad2ant3 1165 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8 breq1 4812 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐴𝑐𝐴))
98elrab 3519 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ↔ (𝑐𝑋𝑐𝐴))
10 simprr 789 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝐴)
11 simpl2 1244 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝑋)
1311, 12sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14 finnum 9025 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16 simpl3 1246 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
173, 16sseldi 3759 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18 finnum 9025 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20 carddom2 9054 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2115, 19, 20syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2210, 21mpbird 248 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
2322ex 401 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24 cardnn 9040 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2524sseq2d 3793 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26 cardon 9021 . . . . . . . . 9 (card‘𝑐) ∈ On
27 nnon 7269 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28 onsssuc 5995 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
2926, 27, 28sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3025, 29bitrd 270 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31303ad2ant3 1165 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3223, 31sylibd 230 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
339, 32syl5bi 233 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34 elrabi 3514 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑐𝑋)
35 elrabi 3514 . . . . 5 (𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑑𝑋)
36 ssel 3755 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐𝑋𝑐 ∈ Fin))
37 ssel 3755 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑𝑋𝑑 ∈ Fin))
3836, 37anim12d 602 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
3938imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40393ad2antl2 1237 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41 sorpssi 7141 . . . . . . . . 9 (( [] Or 𝑋 ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
42413ad2antl1 1236 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
43 finnum 9025 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44 carden2 9064 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4514, 43, 44syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4645adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
47 fin23lem25 9399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
48473expa 1147 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
4948biimpd 220 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
5046, 49sylbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5140, 42, 50syl2anc 579 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
5351, 52impbid1 216 . . . . . 6 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5453ex 401 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5534, 35, 54syl2ani 600 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5633, 55dom2d 8201 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴))
577, 56mpd 15 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴)
58 domfi 8388 . 2 ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
596, 57, 58syl2anc 579 1 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3059  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809   Or wor 5197  dom cdm 5277  Oncon0 5908  suc csuc 5910  cfv 6068   [] crpss 7134  ωcom 7263  cen 8157  cdom 8158  Fincfn 8160  cardccrd 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-rpss 7135  df-om 7264  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9485
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