Theorem fin1a2lem9 10368

Description: Lemma for fin1a2 10375. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem9	⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 9186	. . . . 5 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4204	. . . . 5 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3996	. . . 4 ⊢ ω ⊆ Fin
4		peano2 7869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
5	3, 4	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
6	5	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
7	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ≼ 𝐴 ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 3662	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ↔ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ≼ 𝐴)
11		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14		finnum 9908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
17	3, 16	sselid 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18		finnum 9908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20		carddom2 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
21	15, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
22	10, 21	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24		cardnn 9923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
25	24	sseq2d 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26		cardon 9904	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝑐) ∈ On
27		nnon 7851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		onsssuc 6427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
30	25, 29	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31	30	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
32	23, 31	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
33	9, 32	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34		elrabi 3657	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑐 ∈ 𝑋)
35		elrabi 3657	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑑 ∈ 𝑋)
36		ssel 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐 ∈ 𝑋 → 𝑐 ∈ Fin))
37		ssel 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑 ∈ 𝑋 → 𝑑 ∈ Fin))
38	36, 37	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40	39	3ad2antl2 1187	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41		sorpssi 7708	. . . . . . . . 9 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
42	41	3ad2antl1 1186	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
43		finnum 9908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44		carden2 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
45	14, 43, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
47		fin23lem25 10284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
48	47	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
49	48	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 → 𝑐 = 𝑑))
50	46, 49	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
51	40, 42, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
53	51, 52	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
55	34, 35, 54	syl2ani 607	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
56	33, 55	dom2d 8967	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴))
57	7, 56	mpd 15	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴)
58		domfi 9159	. 2 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)
59	6, 57, 58	syl2anc 584	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   Or wor 5548  dom cdm 5641  Oncon0 6335  suc csuc 6337  ‘cfv 6514   [⊊] crpss 7701  ωcom 7845   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919  Fincfn 8921  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-rpss 7702  df-om 7846  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10370