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Theorem fin1a2lem9 9822
Description: Lemma for fin1a2 9829. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem9 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onfin2 8702 . . . . 5 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 4204 . . . . 5 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 3999 . . . 4 ω ⊆ Fin
4 peano2 7594 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
53, 4sseldi 3963 . . 3 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
653ad2ant3 1129 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
743ad2ant3 1129 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐴𝑐𝐴))
98elrab 3678 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ↔ (𝑐𝑋𝑐𝐴))
10 simprr 771 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝐴)
11 simpl2 1186 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝑋)
1311, 12sseldd 3966 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14 finnum 9369 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16 simpl3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
173, 16sseldi 3963 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18 finnum 9369 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20 carddom2 9398 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2115, 19, 20syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2210, 21mpbird 259 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
2322ex 415 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24 cardnn 9384 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2524sseq2d 3997 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26 cardon 9365 . . . . . . . . 9 (card‘𝑐) ∈ On
27 nnon 7578 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28 onsssuc 6271 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
2926, 27, 28sylancr 589 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3025, 29bitrd 281 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31303ad2ant3 1129 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3223, 31sylibd 241 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
339, 32syl5bi 244 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34 elrabi 3673 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑐𝑋)
35 elrabi 3673 . . . . 5 (𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑑𝑋)
36 ssel 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐𝑋𝑐 ∈ Fin))
37 ssel 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑𝑋𝑑 ∈ Fin))
3836, 37anim12d 610 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
3938imp 409 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40393ad2antl2 1180 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41 sorpssi 7447 . . . . . . . . 9 (( [] Or 𝑋 ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
42413ad2antl1 1179 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
43 finnum 9369 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44 carden2 9408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4514, 43, 44syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4645adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
47 fin23lem25 9738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
48473expa 1112 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
4948biimpd 231 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
5046, 49sylbid 242 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5140, 42, 50syl2anc 586 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
5351, 52impbid1 227 . . . . . 6 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5453ex 415 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5534, 35, 54syl2ani 608 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5633, 55dom2d 8542 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴))
577, 56mpd 15 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴)
58 domfi 8731 . 2 ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
596, 57, 58syl2anc 586 1 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3140  cin 3933  wss 3934   class class class wbr 5057   Or wor 5466  dom cdm 5548  Oncon0 6184  suc csuc 6186  cfv 6348   [] crpss 7440  ωcom 7572  cen 8498  cdom 8499  Fincfn 8501  cardccrd 9356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-rpss 7441  df-om 7573  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9824
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