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Theorem fin1a2lem9 10344
Description: Lemma for fin1a2 10351. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem9 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onfin2 9175 . . . . 5 ω = (On ∩ Fin)
2 inss2 4189 . . . . 5 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
31, 2eqsstri 3978 . . . 4 ω ⊆ Fin
4 peano2 7827 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
53, 4sselid 3942 . . 3 (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
653ad2ant3 1135 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
743ad2ant3 1135 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8 breq1 5108 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐴𝑐𝐴))
98elrab 3645 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ↔ (𝑐𝑋𝑐𝐴))
10 simprr 771 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝐴)
11 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐𝑋)
1311, 12sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14 finnum 9884 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
173, 16sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18 finnum 9884 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20 carddom2 9913 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐𝐴))
2210, 21mpbird 256 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑐𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
2322ex 413 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24 cardnn 9899 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2524sseq2d 3976 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26 cardon 9880 . . . . . . . . 9 (card‘𝑐) ∈ On
27 nnon 7808 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28 onsssuc 6407 . . . . . . . . 9 (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
2926, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3025, 29bitrd 278 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31303ad2ant3 1135 . . . . . 6 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
3223, 31sylibd 238 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑐𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
339, 32biimtrid 241 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34 elrabi 3639 . . . . 5 (𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑐𝑋)
35 elrabi 3639 . . . . 5 (𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} → 𝑑𝑋)
36 ssel 3937 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐𝑋𝑐 ∈ Fin))
37 ssel 3937 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑𝑋𝑑 ∈ Fin))
3836, 37anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
3938imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40393ad2antl2 1186 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41 sorpssi 7666 . . . . . . . . 9 (( [] Or 𝑋 ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
42413ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → (𝑐𝑑𝑑𝑐))
43 finnum 9884 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44 carden2 9923 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4514, 43, 44syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐𝑑))
47 fin23lem25 10260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
48473expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
4948biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → (𝑐𝑑𝑐 = 𝑑))
5046, 49sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐𝑑𝑑𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
5140, 42, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
5351, 52impbid1 224 . . . . . 6 ((( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐𝑋𝑑𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
5453ex 413 . . . . 5 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐𝑋𝑑𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5534, 35, 54syl2ani 607 . . . 4 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏𝑋𝑏𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
5633, 55dom2d 8933 . . 3 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴))
577, 56mpd 15 . 2 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴)
58 domfi 9136 . 2 ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏𝑋𝑏𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
596, 57, 58syl2anc 584 1 (( [] Or 𝑋𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏𝑋𝑏𝐴} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105   Or wor 5544  dom cdm 5633  Oncon0 6317  suc csuc 6319  cfv 6496   [] crpss 7659  ωcom 7802  cen 8880  cdom 8881  Fincfn 8883  cardccrd 9871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-rpss 7660  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10346
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