Theorem fin1a2lem9 10330

Description: Lemma for fin1a2 10337. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem9	⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 9151	. . . . 5 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4178	. . . . 5 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3968	. . . 4 ⊢ ω ⊆ Fin
4		peano2 7841	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
5	3, 4	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
6	5	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
7	4	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ≼ 𝐴 ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 3634	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ↔ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴))
10		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ≼ 𝐴)
11		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14		finnum 9872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16		simpl3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
17	3, 16	sselid 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18		finnum 9872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20		carddom2 9901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
21	15, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
22	10, 21	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24		cardnn 9887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
25	24	sseq2d 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26		cardon 9868	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝑐) ∈ On
27		nnon 7823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		onsssuc 6415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
29	26, 27, 28	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
30	25, 29	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31	30	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
32	23, 31	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
33	9, 32	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34		elrabi 3630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑐 ∈ 𝑋)
35		elrabi 3630	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑑 ∈ 𝑋)
36		ssel 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐 ∈ 𝑋 → 𝑐 ∈ Fin))
37		ssel 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑 ∈ 𝑋 → 𝑑 ∈ Fin))
38	36, 37	anim12d 610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40	39	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41		sorpssi 7683	. . . . . . . . 9 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
42	41	3ad2antl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
43		finnum 9872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44		carden2 9911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
45	14, 43, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
47		fin23lem25 10246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
48	47	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
49	48	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 → 𝑐 = 𝑑))
50	46, 49	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
51	40, 42, 50	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
53	51, 52	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
55	34, 35, 54	syl2ani 608	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
56	33, 55	dom2d 8940	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴))
57	7, 56	mpd 15	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴)
58		domfi 9123	. 2 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)
59	6, 57, 58	syl2anc 585	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   Or wor 5538  dom cdm 5631  Oncon0 6323  suc csuc 6325  ‘cfv 6498   [⊊] crpss 7676  ωcom 7817   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891  Fincfn 8893  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10332