Theorem fin1a2lem9 9868

Description: Lemma for fin1a2 9875. In a chain of finite sets, initial segments are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem9	⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝑋,𝑏

Proof of Theorem fin1a2lem9

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8749	. . . . 5 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4134	. . . . 5 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3926	. . . 4 ⊢ ω ⊆ Fin
4		peano2 7601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)
5	3, 4	sseldi 3890	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ Fin)
6	5	3ad2ant3 1132	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ Fin)
7	4	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → suc 𝐴 ∈ ω)
8		breq1 5035	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ≼ 𝐴 ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
9	8	elrab 3602	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ↔ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴))
10		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ≼ 𝐴)
11		simpl2 1189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ Fin)
12		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
13	11, 12	sseldd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ Fin)
14		finnum 9410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → 𝑐 ∈ dom card)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝑐 ∈ dom card)
16		simpl3 1190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ω)
17	3, 16	sseldi 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18		finnum 9410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
20		carddom2 9439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
21	15, 19, 20	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝑐 ≼ 𝐴))
22	10, 21	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴)) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴))
23	22	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴)))
24		cardnn 9425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
25	24	sseq2d 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ⊆ 𝐴))
26		cardon 9406	. . . . . . . . 9 ⊢ (card‘𝑐) ∈ On
27		nnon 7585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		onsssuc 6256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((card‘𝑐) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
29	26, 27, 28	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ 𝐴 ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
30	25, 29	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
31	30	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝑐) ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
32	23, 31	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ≼ 𝐴) → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
33	9, 32	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → (card‘𝑐) ∈ suc 𝐴))
34		elrabi 3596	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑐 ∈ 𝑋)
35		elrabi 3596	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} → 𝑑 ∈ 𝑋)
36		ssel 3885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑐 ∈ 𝑋 → 𝑐 ∈ Fin))
37		ssel 3885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → (𝑑 ∈ 𝑋 → 𝑑 ∈ Fin))
38	36, 37	anim12d 611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ⊆ Fin → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin)))
39	38	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ⊆ Fin ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
40	39	3ad2antl2 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin))
41		sorpssi 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
42	41	3ad2antl1 1182	. . . . . . . 8 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐))
43		finnum 9410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ Fin → 𝑑 ∈ dom card)
44		carden2 9449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ dom card ∧ 𝑑 ∈ dom card) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
45	14, 43, 44	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
46	45	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 ≈ 𝑑))
47		fin23lem25 9784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
48	47	3expa 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 ↔ 𝑐 = 𝑑))
49	48	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → (𝑐 ≈ 𝑑 → 𝑐 = 𝑑))
50	46, 49	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ Fin) ∧ (𝑐 ⊆ 𝑑 ∨ 𝑑 ⊆ 𝑐)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
51	40, 42, 50	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) → 𝑐 = 𝑑))
52		fveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (card‘𝑐) = (card‘𝑑))
53	51, 52	impbid1 228	. . . . . 6 ⊢ ((( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑))
54	53	ex 416	. . . . 5 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
55	34, 35, 54	syl2ani 609	. . . 4 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝑐 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∧ 𝑑 ∈ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴}) → ((card‘𝑐) = (card‘𝑑) ↔ 𝑐 = 𝑑)))
56	33, 55	dom2d 8568	. . 3 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → (suc 𝐴 ∈ ω → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴))
57	7, 56	mpd 15	. 2 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴)
58		domfi 8776	. 2 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ≼ suc 𝐴) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)
59	6, 57, 58	syl2anc 587	1 ⊢ (( [⊊] Or 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ Fin ∧ 𝐴 ∈ ω) → {𝑏 ∈ 𝑋 ∣ 𝑏 ≼ 𝐴} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858   class class class wbr 5032   Or wor 5442  dom cdm 5524  Oncon0 6169  suc csuc 6171  ‘cfv 6335   [⊊] crpss 7446  ωcom 7579   ≈ cen 8524   ≼ cdom 8525  Fincfn 8527  cardccrd 9397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-rpss 7447  df-om 7580  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9870