Theorem strss 16836

Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	⊢ 𝑇 ∈ V
strss.f	⊢ Fun 𝑇
strss.s	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
strss.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strss.n	⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strss	⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Proof of Theorem strss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4		strss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑇
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → Fun 𝑇)
6		strss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		strss.n	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
10	1, 3, 5, 7, 9	strssd 16835	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))
11	10	mptru 1546	1 ⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  Slot cslot 16810  ndxcnx 16822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-slot 16811

This theorem is referenced by:  grpss  18512