MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strss 17084
Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
strss.t 𝑇 ∈ V
strss.f Fun 𝑇
strss.s 𝑆 βŠ† 𝑇
strss.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strss.n ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strss (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†)

Proof of Theorem strss
StepHypRef Expression
1 strss.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strss.t . . . 4 𝑇 ∈ V
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 𝑇 ∈ V)
4 strss.f . . . 4 Fun 𝑇
54a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ Fun 𝑇)
6 strss.s . . . 4 𝑆 βŠ† 𝑇
76a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
8 strss.n . . . 4 ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆
98a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
101, 3, 5, 7, 9strssd 17083 . 2 (⊀ β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†))
1110mptru 1549 1 (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-slot 17059
This theorem is referenced by:  grpss  18773
  Copyright terms: Public domain W3C validator