Theorem strss 16232

Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	⊢ 𝑇 ∈ V
strss.f	⊢ Fun 𝑇
strss.s	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
strss.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strss.n	⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strss	⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Proof of Theorem strss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4		strss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑇
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → Fun 𝑇)
6		strss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		strss.n	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
10	1, 3, 5, 7, 9	strssd 16231	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))
11	10	mptru 1661	1 ⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ∈ wcel 2157  Vcvv 3384   ⊆ wss 3768  ⟨cop 4373  Fun wfun 6094  ‘cfv 6100  ndxcnx 16178  Slot cslot 16180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pr 5096

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fv 6108  df-slot 16185

This theorem is referenced by:  grpss  17753