Theorem strss 17393

Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	⊢ 𝑇 ∈ V
strss.f	⊢ Fun 𝑇
strss.s	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
strss.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strss.n	⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strss	⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Proof of Theorem strss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4		strss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑇
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → Fun 𝑇)
6		strss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		strss.n	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
10	1, 3, 5, 7, 9	strssd 17392	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))
11	10	mptru 1576	1 ⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ⟨cop 4834  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  Slot cslot 17368  ndxcnx 17380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-slot 17369

This theorem is used by:  grpss  19174