Theorem strss 17136

Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	⊢ 𝑇 ∈ V
strss.f	⊢ Fun 𝑇
strss.s	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
strss.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strss.n	⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strss	⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Proof of Theorem strss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4		strss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑇
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → Fun 𝑇)
6		strss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		strss.n	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
10	1, 3, 5, 7, 9	strssd 17135	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))
11	10	mptru 1548	1 ⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4633  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  Slot cslot 17110  ndxcnx 17122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-slot 17111

This theorem is referenced by:  grpss  18836