Theorem strssd 17135

Description: Deduction version of strss 17136. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strssd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strssd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
strssd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strssd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strssd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strssd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
3		strssd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
4		strssd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
5		strssd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	strfvd 17130	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑇))
8	2, 4	ssexd 5323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		funss 6564	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
10	4, 3, 9	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
11	1, 8, 10, 5	strfvd 17130	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
12	7, 11	eqtr3d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4633  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  Slot cslot 17110  ndxcnx 17122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-slot 17111

This theorem is referenced by:  strss  17136