MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strssd 17139
Description: Deduction version of strss 17140. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strssd.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strssd.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
strssd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
strssd.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strssd (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strssd
StepHypRef Expression
1 strssd.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strssd.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
3 strssd.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
4 strssd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
5 strssd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
64, 5sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6strfvd 17134 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘‡))
82, 4ssexd 5325 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
9 funss 6568 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑇 β†’ (Fun 𝑇 β†’ Fun 𝑆))
104, 3, 9sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
111, 8, 10, 5strfvd 17134 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
127, 11eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-slot 17115
This theorem is referenced by:  strss  17140
  Copyright terms: Public domain W3C validator