Theorem strssd 16527

Description: Deduction version of strss 16528. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strssd.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strssd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
strssd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strssd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strssd.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		strssd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
3		strssd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
4		strssd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
5		strssd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	strfvd 16522	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑇))
8	2, 4	ssexd 5220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		funss 6368	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
10	4, 3, 9	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
11	1, 8, 10, 5	strfvd 16522	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
12	7, 11	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ⟨cop 4566  Fun wfun 6343  ‘cfv 6349  ndxcnx 16474  Slot cslot 16476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-slot 16481

This theorem is referenced by:  strss  16528