MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strssd 17135
Description: Deduction version of strss 17136. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strssd.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strssd.t (𝜑𝑇𝑉)
strssd.f (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s (𝜑𝑆𝑇)
strssd.n (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strssd (𝜑 → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strssd
StepHypRef Expression
1 strssd.e . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2 strssd.t . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
3 strssd.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑇)
4 strssd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
5 strssd.n . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
64, 5sseldd 3982 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6strfvd 17130 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑇))
82, 4ssexd 5323 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
9 funss 6564 . . . 4 (𝑆𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
104, 3, 9sylc 65 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
111, 8, 10, 5strfvd 17130 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))
127, 11eqtr3d 2775 1 (𝜑 → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3947  cop 4633  Fun wfun 6534  cfv 6540  Slot cslot 17110  ndxcnx 17122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-slot 17111
This theorem is referenced by:  strss  17136
  Copyright terms: Public domain W3C validator