MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strssd 17146
Description: Deduction version of strss 17147. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strssd.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
strssd.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
strssd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
strssd.n (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strssd (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†))

Proof of Theorem strssd
StepHypRef Expression
1 strssd.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 strssd.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
3 strssd.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑇)
4 strssd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑇)
5 strssd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑆)
64, 5sseldd 3978 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6strfvd 17141 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘‡))
82, 4ssexd 5317 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
9 funss 6560 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑇 β†’ (Fun 𝑇 β†’ Fun 𝑆))
104, 3, 9sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
111, 8, 10, 5strfvd 17141 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜π‘†))
127, 11eqtr3d 2768 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‡) = (πΈβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629  Fun wfun 6530  β€˜cfv 6536  Slot cslot 17121  ndxcnx 17133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-slot 17122
This theorem is referenced by:  strss  17147
  Copyright terms: Public domain W3C validator