Theorem grpss 18942

Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 20203, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpss.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r	⊢ 𝑅 ∈ V
grpss.s	⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
grpss.f	⊢ Fun 𝑅

Assertion

Ref	Expression
grpss	⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpss.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		grpss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅
3		grpss.s	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
4		baseid 17236	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		opex 5444	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
6	5	prid1 4743	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7		grpss.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
8	6, 7	eleqtrri 2834	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
9	1, 2, 3, 4, 8	strss 17230	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		plusgid 17303	. . . 4 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
11		opex 5444	. . . . . 6 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
12	11	prid2 4744	. . . . 5 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12, 7	eleqtrri 2834	. . . 4 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
14	1, 2, 3, 10, 13	strss 17230	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝐺)
15	9, 14	grpprop 18940	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
16	15	bicomi 224	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {cpr 4608  ⟨cop 4612  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  Grpcgrp 18921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-1cn 11192  ax-addcl 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12246  df-2 12308  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924

This theorem is referenced by: (None)