Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpss 18117
 Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows us to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 19299, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpss.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r 𝑅 ∈ V
grpss.s 𝐺𝑅
grpss.f Fun 𝑅
Assertion
Ref Expression
grpss (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss
StepHypRef Expression
1 grpss.r . . . 4 𝑅 ∈ V
2 grpss.f . . . 4 Fun 𝑅
3 grpss.s . . . 4 𝐺𝑅
4 baseid 16538 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
5 opex 5322 . . . . . 6 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
65prid1 4658 . . . . 5 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7 grpss.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
86, 7eleqtrri 2889 . . . 4 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
91, 2, 3, 4, 8strss 16529 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10 plusgid 16591 . . . 4 +g = Slot (+g‘ndx)
11 opex 5322 . . . . . 6 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
1211prid2 4659 . . . . 5 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
1312, 7eleqtrri 2889 . . . 4 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
141, 2, 3, 10, 13strss 16529 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝐺)
159, 14grpprop 18115 . 2 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
1615bicomi 227 1 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {cpr 4527  ⟨cop 4531  Fun wfun 6319  ‘cfv 6325  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Grpcgrp 18098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator