Theorem grpss 19052

Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 20351, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpss.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r	⊢ 𝑅 ∈ V
grpss.s	⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
grpss.f	⊢ Fun 𝑅

Assertion

Ref	Expression
grpss	⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpss.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		grpss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅
3		grpss.s	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
4		baseid 17297	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		opex 5450	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
6	5	prid1 4733	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7		grpss.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
8	6, 7	eleqtrri 2865	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
9	1, 2, 3, 4, 8	strss 17291	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		plusgid 17362	. . . 4 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
11		opex 5450	. . . . . 6 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
12	11	prid2 4734	. . . . 5 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12, 7	eleqtrri 2865	. . . 4 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
14	1, 2, 3, 10, 13	strss 17291	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝐺)
15	9, 14	grpprop 19050	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
16	15	bicomi 227	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  ⟨cop 4600  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Grpcgrp 19031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-1cn 11176  ax-addcl 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12252  df-2 12321  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034

This theorem is used by: (None)