Theorem grpss 19145

Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 20444, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpss.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r	⊢ 𝑅 ∈ V
grpss.s	⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
grpss.f	⊢ Fun 𝑅

Assertion

Ref	Expression
grpss	⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpss.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		grpss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅
3		grpss.s	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
4		baseid 17370	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
6	5	prid1 4723	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7		grpss.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
8	6, 7	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
9	1, 2, 3, 4, 8	strss 17364	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		plusgid 17435	. . . 4 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
11		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
12	11	prid2 4724	. . . . 5 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12, 7	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
14	1, 2, 3, 10, 13	strss 17364	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝐺)
15	9, 14	grpprop 19143	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
16	15	bicomi 227	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ⟨cop 4590  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  ndxcnx 17351  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Grpcgrp 19124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-2 12386  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127

This theorem is used by: (None)