Theorem grpss 18886

Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 20147, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpss.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r	⊢ 𝑅 ∈ V
grpss.s	⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
grpss.f	⊢ Fun 𝑅

Assertion

Ref	Expression
grpss	⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpss.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
2		grpss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑅
3		grpss.s	. . . 4 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝑅
4		baseid 17182	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
5		opex 5424	. . . . . 6 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
6	5	prid1 4726	. . . . 5 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7		grpss.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
8	6, 7	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
9	1, 2, 3, 4, 8	strss 17176	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10		plusgid 17247	. . . 4 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
11		opex 5424	. . . . . 6 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
12	11	prid2 4727	. . . . 5 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
13	12, 7	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
14	1, 2, 3, 10, 13	strss 17176	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝐺)
15	9, 14	grpprop 18884	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
16	15	bicomi 224	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {cpr 4591  ⟨cop 4595  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-2 12249  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by: (None)