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Theorem setsid 17141
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
setsid ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)))

Proof of Theorem setsid
StepHypRef Expression
1 setsval 17100 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩) = ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}))
21fveq2d 6896 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)) = (πΈβ€˜((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})))
3 setsid.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
4 resexg 6028 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V)
54adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V)
6 snex 5432 . . . 4 {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∈ V
7 unexg 7736 . . . 4 (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∈ V) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 587 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) ∈ V)
93, 8strfvnd 17118 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)))
10 fvex 6905 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
1110snid 4665 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) ∈ {(πΈβ€˜ndx)}
12 fvres 6911 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) ∈ {(πΈβ€˜ndx)} β†’ ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx))
14 resres 5995 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)}))
15 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . 11 ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…
1615reseq2i 5979 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)})) = (π‘Š β†Ύ βˆ…)
17 res0 5986 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1816, 17eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)})) = βˆ…
1914, 18eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…)
21 elex 3493 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ V)
23 opelxpi 5714 . . . . . . . . . 10 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
2410, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
25 opex 5465 . . . . . . . . . 10 ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ V
2625relsn 5805 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ↔ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
2724, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
28 dmsnopss 6214 . . . . . . . 8 dom {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† {(πΈβ€˜ndx)}
29 relssres 6023 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∧ dom {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† {(πΈβ€˜ndx)}) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3120, 30uneq12d 4165 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) βˆͺ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})) = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}))
32 resundir 5997 . . . . . 6 (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) βˆͺ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}))
33 un0 4391 . . . . . . 7 ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βˆͺ βˆ…) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}
34 uncom 4154 . . . . . . 7 ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βˆͺ βˆ…) = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3533, 34eqtr3i 2763 . . . . . 6 {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3631, 32, 353eqtr4g 2798 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3736fveq1d 6894 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)))
3813, 37eqtr3id 2787 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)))
3910a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ V)
40 fvsng 7178 . . . 4 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
4139, 40sylancom 589 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
4238, 41eqtrd 2773 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
432, 9, 423eqtrrd 2778 1 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-sets 17097  df-slot 17115
This theorem is referenced by:  ressbas  17179  ressbasOLD  17180  oppchomfval  17658  oppchomfvalOLD  17659  oppccofval  17661  reschom  17778  oduleval  18242  oppgplusfval  19212  mgpplusg  19991  opprmulfval  20152  rmodislmod  20540  rmodislmodOLD  20541  srasca  20798  srascaOLD  20799  sravsca  20800  sravscaOLD  20801  sraip  20802  zlmsca  21074  zlmvsca  21075  znle  21088  thloc  21254  opsrle  21602  matmulr  21940  tuslem  23771  tuslemOLD  23772  setsmstset  23985  tngds  24164  tngdsOLD  24165  tngtset  24166  ttgval  28126  ttgvalOLD  28127  setsiedg  28296  resvsca  32444  hlhilnvl  40825  mnringmulrd  42980  cznrng  46853  cznnring  46854  prstchomval  47694  prstcthin  47696
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