MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsid 17085
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
setsid ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)))

Proof of Theorem setsid
StepHypRef Expression
1 setsval 17044 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩) = ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}))
21fveq2d 6847 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)) = (πΈβ€˜((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})))
3 setsid.e . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
4 resexg 5984 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V)
54adantr 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V)
6 snex 5389 . . . 4 {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∈ V
7 unexg 7684 . . . 4 (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∈ V) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 587 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) ∈ V)
93, 8strfvnd 17062 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)))
10 fvex 6856 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
1110snid 4623 . . . . 5 (πΈβ€˜ndx) ∈ {(πΈβ€˜ndx)}
12 fvres 6862 . . . . 5 ((πΈβ€˜ndx) ∈ {(πΈβ€˜ndx)} β†’ ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx))
14 resres 5951 . . . . . . . . 9 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)}))
15 disjdifr 4433 . . . . . . . . . . 11 ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…
1615reseq2i 5935 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)})) = (π‘Š β†Ύ βˆ…)
17 res0 5942 . . . . . . . . . 10 (π‘Š β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1816, 17eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (π‘Š β†Ύ ((V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)}) ∩ {(πΈβ€˜ndx)})) = βˆ…
1914, 18eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = βˆ…)
21 elex 3462 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ V)
23 opelxpi 5671 . . . . . . . . . 10 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ V) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
2410, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
25 opex 5422 . . . . . . . . . 10 ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ V
2625relsn 5761 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ↔ ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩ ∈ (V Γ— V))
2724, 26sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
28 dmsnopss 6167 . . . . . . . 8 dom {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† {(πΈβ€˜ndx)}
29 relssres 5979 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} ∧ dom {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βŠ† {(πΈβ€˜ndx)}) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3120, 30uneq12d 4125 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) βˆͺ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})) = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}))
32 resundir 5953 . . . . . 6 (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) βˆͺ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}))
33 un0 4351 . . . . . . 7 ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βˆͺ βˆ…) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}
34 uncom 4114 . . . . . . 7 ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} βˆͺ βˆ…) = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3533, 34eqtr3i 2763 . . . . . 6 {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩} = (βˆ… βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3631, 32, 353eqtr4g 2798 . . . . 5 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)}) = {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})
3736fveq1d 6845 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}) β†Ύ {(πΈβ€˜ndx)})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)))
3813, 37eqtr3id 2787 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)))
3910a1i 11 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜ndx) ∈ V)
40 fvsng 7127 . . . 4 (((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
4139, 40sylancom 589 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩}β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
4238, 41eqtrd 2773 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {(πΈβ€˜ndx)})) βˆͺ {⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩})β€˜(πΈβ€˜ndx)) = 𝐢)
432, 9, 423eqtrrd 2778 1 ((π‘Š ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨(πΈβ€˜ndx), 𝐢⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  Rel wrel 5639  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-sets 17041  df-slot 17059
This theorem is referenced by:  ressbas  17123  ressbasOLD  17124  oppchomfval  17599  oppchomfvalOLD  17600  oppccofval  17602  reschom  17719  oduleval  18183  oppgplusfval  19131  mgpplusg  19905  opprmulfval  20056  rmodislmod  20405  rmodislmodOLD  20406  srasca  20662  srascaOLD  20663  sravsca  20664  sravscaOLD  20665  sraip  20666  zlmsca  20941  zlmvsca  20942  znle  20955  thloc  21121  opsrle  21464  matmulr  21803  tuslem  23634  tuslemOLD  23635  setsmstset  23848  tngds  24027  tngdsOLD  24028  tngtset  24029  ttgval  27859  ttgvalOLD  27860  setsiedg  28029  resvsca  32168  hlhilnvl  40463  mnringmulrd  42589  cznrng  46339  cznnring  46340  prstchomval  47180  prstcthin  47182
  Copyright terms: Public domain W3C validator