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Theorem setsid 17244
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
Assertion
Ref Expression
setsid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsid
StepHypRef Expression
1 setsval 17204 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
21fveq2d 6910 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
3 setsid.e . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 resexg 6045 . . . . 5 (𝑊𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
54adantr 480 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
6 snex 5436 . . . 4 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V
7 unexg 7763 . . . 4 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 586 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
93, 8strfvnd 17222 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
10 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ V
1110snid 4662 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)}
12 fvres 6925 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
14 resres 6010 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
15 disjdifr 4473 . . . . . . . . . . 11 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
1615reseq2i 5994 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
17 res0 6001 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
1914, 18eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
21 elex 3501 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ V)
23 opelxpi 5722 . . . . . . . . . 10 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2410, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
25 opex 5469 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
2625relsn 5814 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2724, 26sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
28 dmsnopss 6234 . . . . . . . 8 dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}
29 relssres 6040 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3120, 30uneq12d 4169 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
32 resundir 6012 . . . . . 6 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
33 un0 4394 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
34 uncom 4158 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3533, 34eqtr3i 2767 . . . . . 6 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3631, 32, 353eqtr4g 2802 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3736fveq1d 6908 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
3813, 37eqtr3id 2791 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
3910a1i 11 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ V)
40 fvsng 7200 . . . 4 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4139, 40sylancom 588 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4238, 41eqtrd 2777 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
432, 9, 423eqtrrd 2782 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  Rel wrel 5690  cfv 6561  (class class class)co 7431   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17201  df-slot 17219
This theorem is referenced by:  ressbas  17280  ressbasOLD  17281  oppchomfval  17757  oppccofval  17759  reschom  17874  oduleval  18334  oppgplusfval  19366  mgpplusg  20141  opprmulfval  20336  rmodislmod  20928  srasca  21183  srascaOLD  21184  sravsca  21185  sravscaOLD  21186  sraip  21187  zlmsca  21535  zlmvsca  21536  znle  21551  thloc  21719  opsrle  22065  matmulr  22444  tuslem  24275  tuslemOLD  24276  setsmstset  24489  tngds  24668  tngdsOLD  24669  tngtset  24670  ttgval  28883  ttgvalOLD  28884  setsiedg  29053  resvsca  33356  hlhilnvl  41956  mnringmulrd  44240  cznrng  48177  cznnring  48178  prstchomval  49163  prstcthin  49165
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