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Theorem setsid 17242
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
Assertion
Ref Expression
setsid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsid
StepHypRef Expression
1 setsval 17201 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
21fveq2d 6911 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
3 setsid.e . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 resexg 6047 . . . . 5 (𝑊𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
54adantr 480 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
6 snex 5442 . . . 4 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V
7 unexg 7762 . . . 4 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
85, 6, 7sylancl 586 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
93, 8strfvnd 17219 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
10 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ V
1110snid 4667 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)}
12 fvres 6926 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
14 resres 6013 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
15 disjdifr 4479 . . . . . . . . . . 11 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
1615reseq2i 5997 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
17 res0 6004 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
1914, 18eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2019a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
21 elex 3499 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ V)
23 opelxpi 5726 . . . . . . . . . 10 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2410, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
25 opex 5475 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
2625relsn 5817 . . . . . . . . 9 (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
2724, 26sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
28 dmsnopss 6236 . . . . . . . 8 dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}
29 relssres 6042 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3120, 30uneq12d 4179 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
32 resundir 6015 . . . . . 6 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
33 un0 4400 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
34 uncom 4168 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3533, 34eqtr3i 2765 . . . . . 6 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3631, 32, 353eqtr4g 2800 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
3736fveq1d 6909 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
3813, 37eqtr3id 2789 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
3910a1i 11 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ V)
40 fvsng 7200 . . . 4 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4139, 40sylancom 588 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
4238, 41eqtrd 2775 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
432, 9, 423eqtrrd 2780 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  Rel wrel 5694  cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197  Slot cslot 17215  ndxcnx 17227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17198  df-slot 17216
This theorem is referenced by:  ressbas  17280  ressbasOLD  17281  oppchomfval  17759  oppchomfvalOLD  17760  oppccofval  17762  reschom  17879  oduleval  18346  oppgplusfval  19379  mgpplusg  20156  opprmulfval  20353  rmodislmod  20945  rmodislmodOLD  20946  srasca  21201  srascaOLD  21202  sravsca  21203  sravscaOLD  21204  sraip  21205  zlmsca  21553  zlmvsca  21554  znle  21569  thloc  21737  opsrle  22083  matmulr  22460  tuslem  24291  tuslemOLD  24292  setsmstset  24505  tngds  24684  tngdsOLD  24685  tngtset  24686  ttgval  28898  ttgvalOLD  28899  setsiedg  29068  resvsca  33336  hlhilnvl  41937  mnringmulrd  44217  cznrng  48105  cznnring  48106  prstchomval  48875  prstcthin  48877
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