Theorem setsid 17120

Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
setsid.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
setsid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17080	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
2	1	fveq2d 6832	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
3		setsid.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		resexg 5980	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
6		snex 5376	. . . 4 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V
7		unexg 7682	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
9	3, 8	strfvnd 17098	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
10		fvex 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
11	10	snid 4614	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)}
12		fvres 6847	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
14		resres 5945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
15		disjdifr 4422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
16	15	reseq2i 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
17		res0 5936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
19	14, 18	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
21		elex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
23		opelxpi 5656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
24	10, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
25		opex 5407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
26	25	relsn 5748	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
27	24, 26	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
28		dmsnopss 6166	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}
29		relssres 5975	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
30	27, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
31	20, 30	uneq12d 4118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
32		resundir 5947	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
33		un0 4343	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
34		uncom 4107	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
35	33, 34	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
36	31, 32, 35	3eqtr4g 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
37	36	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
38	13, 37	eqtr3id 2782	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
39	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ V)
40		fvsng 7120	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
41	39, 40	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
42	38, 41	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
43	2, 9, 42	3eqtrrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575  ⟨cop 4581   × cxp 5617  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  Rel wrel 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   sSet csts 17076  Slot cslot 17094  ndxcnx 17106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-res 5631  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-sets 17077  df-slot 17095

This theorem is referenced by:  ressbas  17149  oppchomfval  17622  oppccofval  17624  reschom  17739  oduleval  18197  oppgplusfval  19262  mgpplusg  20064  opprmulfval  20259  rmodislmod  20865  srasca  21116  sravsca  21117  sraip  21118  zlmsca  21459  zlmvsca  21460  znle  21475  thloc  21638  opsrle  21983  matmulr  22354  tuslem  24182  setsmstset  24393  tngds  24564  tngtset  24565  ttgval  28854  setsiedg  29016  resvsca  33304  hlhilnvl  42069  mnringmulrd  44340  cznrng  48385  cznnring  48386  prstchomval  49684  prstcthin  49686