Theorem tgsegconeu 28824

Description: The point constructed in axtgsegcon 28801 is unique. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tkgeom.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tkgeom.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tkgeom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgsegconeu.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgsegconeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgsegconeu.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgsegconeu.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgsegconeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tgsegconeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧, −   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem tgsegconeu

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tkgeom.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tkgeom.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tkgeom.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tkgeom.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgsegconeu.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		tgsegconeu.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		tgsegconeu.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgsegconeu.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	axtgsegcon 28801	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)))
10	4	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	6	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
12	7	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	8	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
14	5	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
15		simp-6r 800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
16		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
17		tgsegconeu.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	ad6antr 749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
19		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))
20		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠))
21		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))
22		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))
23	1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22	tgsegconeq 28823	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑧 = 𝑠)
24	23	anasss 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠)
25	24	an42ds 1520	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)) → 𝑧 = 𝑠)
26	25	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠)
27	26	expl 463	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠))
28	27	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃)) → (((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠))
29	28	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑠 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠))
30		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑠))
31	30	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠)))
32		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑠))
33	32	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵)))
34	31, 33	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))))
35	34	reu4 3692	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑠 ∈ 𝑃 (((𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑧 = 𝑠)))
36	9, 29, 35	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ∧ (𝑌 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  distcds 17353  TarskiGcstrkg 28764  Itvcitv 28770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7419  df-trkgc 28785  df-trkgcb 28787  df-trkg 28790

This theorem is used by:  angmndaddeu3  29252  angmndaddeu5  29254  angmndaddeu7  29256