Theorem angmgmaddeu3 29381

Description: Existence of a unique point for building angle addition. Case where the second angle is a flat angle. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddeu3.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
angmgmaddeu3.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddeu3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   − ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑃,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑌,𝑠   𝑍,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑑)   ∼ (𝑠, 𝑑)   𝑈(𝑑)   𝐺(𝑠, 𝑑)   𝐼(𝑑)   𝐿(𝑠, 𝑑)   − (𝑑)   𝑉(𝑑)   𝑊(𝑠, 𝑑)   𝑋(𝑠, 𝑑)   𝑌(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddeu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		angmgmadd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmgmadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		angmgmaddov.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
6		angmgmaddov.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		angmgmaddov.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
8		angmgmaddov.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
9		angmgmaddeu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10	9	necomd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	tgsegconeu 28949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
12		angmgmadd.c	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
13	12	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (cgrA‘𝐺) = ∼
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (cgrA‘𝐺) = ∼ )
15	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
17	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
18		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
19	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
20	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
21		angmgmaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
22	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
23		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠))
24		angmgmaddeu3.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
25	24	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
26	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
27		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
28	27	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑉 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑠))
29		angmgmaddeu.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
30	29	necomd 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑈)
32	1, 2, 3, 15, 20, 19, 17, 18, 28, 31	tgcgrneq 28945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑠)
33	32	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ≠ 𝑌)
34	29	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
35		angmgmaddeu.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
36	35	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
37	36	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
38	1, 3, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 33, 34, 37	flatcgra 29332	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
39	14, 38	breqdi 5118	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
40		angmgmadd.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
41	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
42	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝐺 ∈ TarskiG)
43	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑍 ∈ 𝑃)
44	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑌 ∈ 𝑃)
45		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠))
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑍 = 𝑠)
47	46	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → (𝑍𝐼𝑍) = (𝑍𝐼𝑠))
48	45, 47	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑍))
49	1, 2, 3, 42, 43, 44, 48	axtgbtwnid 28928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑍 = 𝑌)
50	49	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ 𝑍 = 𝑠) → 𝑌 = 𝑍)
51	41, 50	mteqand 3047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ≠ 𝑠)
52	1, 3, 40, 15, 16, 18, 17, 51, 23	btwnlng1 29087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑠))
53	1, 3, 40, 15, 17, 16, 18, 41, 52, 51	lnrot2 29092	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
54		angmgmaddov.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
55	54	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	1, 2, 3, 15, 18, 55	tgbtwntriv1 28954	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑠𝐼𝑋))
57	53, 56	elind 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)))
58	57	ne0d 4288	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)
59	39, 27, 58	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠)) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
60	59	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
61	4	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
62	8	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑈 ∈ 𝑃)
63	7	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑉 ∈ 𝑃)
64	21	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑊 ∈ 𝑃)
65	5	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑍 ∈ 𝑃)
66	6	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ 𝑃)
67		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑠 ∈ 𝑃)
68		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
69	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
70		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
71	69, 70	breqdi 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
72	1, 3, 61, 68, 65, 66, 67, 62, 63, 64, 71	cgracom 29329	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩)
73	24	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
74	1, 3, 2, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 72, 73	cgrabtwn 29334	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠))
75		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
76	74, 75	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
77	76	3anasss 1380	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)) → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
78	60, 77	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
79	78	reubidva 3380	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑠) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
80	11, 79	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃!wreu 3364  {crab 3413   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201  2c2 12397  3c3 12398  ..^cfzo 13788  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  hlGchlg 29063  cgrAccgra 29314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-cgra 29315

This theorem is used by:  angmgmaddov1lem  29386  angmgmaddov2lem  29387