Proof of Theorem zfcndac
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | axacnd 10378 |
. . 3
⊢
∃𝑦∀𝑧∀𝑤(∀𝑦(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
2 | | 19.3v 1985 |
. . . . . 6
⊢
(∀𝑦(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) |
3 | 2 | imbi1i 350 |
. . . . 5
⊢
((∀𝑦(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
4 | 3 | 2albii 1823 |
. . . 4
⊢
(∀𝑧∀𝑤(∀𝑦(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) ↔ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
5 | 4 | exbii 1850 |
. . 3
⊢
(∃𝑦∀𝑧∀𝑤(∀𝑦(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
6 | 1, 5 | mpbi 229 |
. 2
⊢
∃𝑦∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
7 | | equequ2 2029 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑢 = 𝑣 ↔ 𝑢 = 𝑥)) |
8 | 7 | bibi2d 343 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣) ↔ (∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥))) |
9 | | elequ2 2121 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑤 ∈ 𝑡 ↔ 𝑤 ∈ 𝑥)) |
10 | 9 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ↔ (𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥))) |
11 | | elequ2 2121 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑢 ∈ 𝑡 ↔ 𝑢 ∈ 𝑥)) |
12 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)) |
13 | 11, 12 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))) |
14 | 10, 13 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑥 → (((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))) |
15 | 14 | cbvexvw 2040 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))) |
16 | 15 | bibi1i 339 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥) ↔ (∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥)) |
17 | 8, 16 | bitrdi 287 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣) ↔ (∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥))) |
18 | 17 | albidv 1923 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢(∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥))) |
19 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤)) |
20 | 19 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥))) |
21 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥)) |
22 | 21 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦))) |
23 | 20, 22 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑢 = 𝑧 → (((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))) |
24 | 23 | exbidv 1924 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝑧 → (∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)))) |
25 | | equequ1 2028 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
26 | 24, 25 | bibi12d 346 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥) ↔ (∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
27 | 26 | cbvalvw 2039 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑢(∃𝑥((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑥) ↔ ∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
28 | 18, 27 | bitrdi 287 |
. . . . . 6
⊢ (𝑣 = 𝑥 → (∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
29 | 28 | cbvexvw 2040 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑣∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣) ↔ ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥)) |
30 | 29 | imbi2i 336 |
. . . 4
⊢ (((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑣∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
31 | 30 | 2albii 1823 |
. . 3
⊢
(∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑣∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣)) ↔ ∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
32 | 31 | exbii 1850 |
. 2
⊢
(∃𝑦∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑣∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑥∀𝑧(∃𝑥((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑧 = 𝑥))) |
33 | 6, 32 | mpbir 230 |
1
⊢
∃𝑦∀𝑧∀𝑤((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ∃𝑣∀𝑢(∃𝑡((𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡) ∧ (𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦)) ↔ 𝑢 = 𝑣)) |